哈尔滨工业大学计算传热学第五章对流扩散方程的离散格式.ppt

《哈尔滨工业大学计算传热学第五章对流扩散方程的离散格式.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《哈尔滨工业大学计算传热学第五章对流扩散方程的离散格式.ppt（35页珍藏版）》请在一课资料网上搜索。

1、导热型方程：导热型方程：二阶导数项（扩散），源项二阶导数项（扩散），源项对流对流-扩散方程：扩散方程：二阶导数项（扩散），源项二阶导数项（扩散），源项 一阶导数项（对流）一阶导数项（对流）一维稳态无内热源的对流一维稳态无内热源的对流-扩散方程扩散方程:()()dddudxdxdx 密度，密度，扩散系数。扩散系数。22dTd Tcukdxdx00,LxTTxL TT精确解精确解 对流热能量方程对流热能量方程00exp()1exp(/)1exp(/)1exp()1eLeP xTTcux kLTTcuL kP贝克立数贝克立数 对流传热量对流传热量/导热量导热量ecuLcuA TPTkkAL 纯导热纯

2、导热 0eP 上游信息对流到下游，上游信息对流到下游，下游信息无法通过扩下游信息无法通过扩散传到上游。散传到上游。eP 纯对流纯对流 以上述精度解为例讨论各种差分格式的性能。以上述精度解为例讨论各种差分格式的性能。xTL1-5Pe=015LT00 5-1 5-1 对流项中心差分与迎风差分。对流项中心差分与迎风差分。连续方程连续方程()0,duudx常数常数而而 ()()dddudxdxdx 对控制容积采用分段线性进行积分。对控制容积采用分段线性进行积分。()()()()ewewdduudxdx ()()11()()()()22eEPwPWeEPwWPewuuxx记记 FuDxwxexWeEw对

3、流项中心差分格式对流项中心差分格式则则 1111()()()2222PewewEeeWwwFFDDFDFD记记 11()22EeeWwwPEWewaDFaDFaaaFF即即记记 以网格间距以网格间距 为特征尺寸的贝克列数。为特征尺寸的贝克列数。Fu xPD x在均匀网格和常物性条件下，上式为在均匀网格和常物性条件下，上式为:W11(2)()()22PEDDFDF即即 W1211122EPPP（B B）（A A）PPEEWWaaa(5)(5)中心差分格式只适用于中心差分格式只适用于低雷诺数问题低雷诺数问题 (2)(2)式（式（A A）为中心差分格式为中心差分格式 (4)(4)导致不合理的原因导致

4、不合理的原因 而使而使 在在 大时，大时，分布偏离线性很远，积分假设不合理。且分布偏离线性很远，积分假设不合理。且 大时，在大时，在x=L/2x=L/2处，处，上游值而非平均值。上游值而非平均值。(3)(3)存在的问题，用（存在的问题，用（B B）式计算。式计算。(1)(1)当满足连续性条件时，当满足连续性条件时，讨论讨论 W,PEewaaaFF取取 144DFP（a a）W200,100E得得 50P（b b）W100,200E250P得得 显然不合理，真实值显然不合理，真实值 在在 和和 之间。之间。PEW2P0Ea PxP0 为了避免上式造成物理不真实，而构造迎风差分格式：为了避免上式造

5、成物理不真实，而构造迎风差分格式：（介绍第二类，有守恒性）在控制容积积分时，界面上的（介绍第二类，有守恒性）在控制容积积分时，界面上的未知量恒取上游节点的值，而不象中心差分那样取两边节未知量恒取上游节点的值，而不象中心差分那样取两边节点的平均值。点的平均值。对流迎风差分格式对流迎风差分格式()|,0|,0|eeePeEeuFFF 取最大值取最大值 EePeFFW()|,0|,0|wwwwPwuFFF 二阶导数的扩散项仍采用中心差分，二阶导数的扩散项仍采用中心差分，整理后得整理后得 WWpPEEaaa但但 WW|,0|,|,0|(C)()EeewwPEewaDFaDFaaaFF当当u0u0当当u

6、0u0C 一、指数格式一、指数格式d-dJ=ux 记总通量记总通量 对流和扩散，对流和扩散，则则 dddd()()()0dddduJxxxx 控制容积积分控制容积积分 0ewJJ把精度解代入把精度解代入 J J 中中 000exp1expexp1exp()1LeLeeeePxPPxJuPLPLL0000exp()1exp()1LLeeuFPP 5-2 5-2 指数格式、混合格式与乘方格式指数格式、混合格式与乘方格式/ePuLexp()1exp()1WPPEePwWewFFPP故故 exp()exp()1exp()1exp()1exp()1exp()1eewwPewEWewewPFFPFFPPP

7、PWWPPEEaaa而而 Wexp(),exp()1exp()1ewwEewFFPaaPPW()PEewaaaFF(D)EeeaPD112EeeaPD EeaD指数指数0EeaDEWaa和区别就在函数区别就在函数 exp()1eEeePaDPexp()exp()1WwwwwaPPDP二混合格式二混合格式 虽然指数格式是精确解虽然指数格式是精确解,但计算过繁但计算过繁,通过对通过对 随随 变化及其三条切线变化及其三条切线EeaDeP;0EeeaPD;EeeeaPPD122;12EeeeaPPD 斯波尔丁提出斯波尔丁提出 1|,1,0|21|,1,0|2()PPEEWWEeeeWwwwPEWewa

8、aaaDPPaDPPaaaFF(e)讨论讨论 (1)(1)在在 之间，之间，就是中心差分格式。，就是中心差分格式。22eP 12EeeaDF(2)(2)在在 的区域里的区域里 即扩散项取零的逆风格式。即扩散项取零的逆风格式。22eePP 和0,EeEaFa 或 由于其综合了中心和迎风两种格式的优点，故称混合格由于其综合了中心和迎风两种格式的优点，故称混合格式。但最好还是看成精确解的三条直线的近似，包络线。式。但最好还是看成精确解的三条直线的近似，包络线。三、乘方格式三、乘方格式 由于混合格式在由于混合格式在 附近，偏离真值较远，帕坦卡附近，偏离真值较远，帕坦卡提出乘方格式。提出乘方格式。2eP

9、 10eP 55(1 0.1)(1 0.1)0EeEEeeEEeEEEaPDaPPDaPDaD 100eP010eP10eP5|0,(1 0.1|)|0,|EeeeaPPD讨论讨论 该格式计算量比指数小，且与指数格式的解差别很小。该格式计算量比指数小，且与指数格式的解差别很小。(f)系数系数A A和和B B的性质的讨论的性质的讨论(1)(1)当当 时，扩散量时，扩散量=0=0，完全由对流造成，即完全由对流造成，即 5-3 5-3 通用表达式通用表达式为了在讨论中引入为了在讨论中引入 EP记记 界面界面i+i+上的值可以用界面两侧节点值表示上的值可以用界面两侧节点值表示 *1iiJBA（y y）

10、1ii*J*11iiiiJPPBA12得得B-A=此为和差特性。此为和差特性。P*Jxii+1i+1/2x（2 2）对称特性）对称特性 对坐标对坐标I I：D D在界面前。在界面前。*()()CDJB PA P坐标坐标II相对相对I反向，流向不变，而反向，流向不变，而此时此时D D在界面后。（界面的前后相在界面后。（界面的前后相对坐标方向而言）对坐标方向而言）*()()DCJBPAP由于坐标描述的是同一量，故由于坐标描述的是同一量，故 *JJ()()()()CDCDB PA PAPBP()()()()CDB PAPA PBP*J*JICCDDII是是 的函数，而的函数，而 是与之对称的。是与之

11、对称的。上述若对任何成立，必得上述若对任何成立，必得()()()()B PAPA PBP即即 ()A PP与B(的值以的值以 =0 =0的轴对称的。的轴对称的。P 根据对称特性可以说明为什么前面讨论格式特性根据对称特性可以说明为什么前面讨论格式特性只研究函数只研究函数 Ea因为因为 EeaDePWwaDAABBPPA A，B B系数性质的含义系数性质的含义 根据对称及和差特性，我们仅根据对称及和差特性，我们仅须知道红线的值，即在须知道红线的值，即在 (,0,)PA P则所有则所有 ()A P和和 ()B P均确定了。均确定了。在在 0:()()()(|)|PA PB PPAPPA PP通用格式

12、通用格式 ()(|)|,0|A PA PP对对B B()(|)|,0|B PA PP各种格式的通用表达式各种格式的通用表达式 *()()eePeEJB PA P*()()wwWwPJB PA PwxexWweE*wJ*eJAB1P而而 *,()uFJPJDDx根据通量守恒根据通量守恒 *0eweewwJJD JD JEW()()()PeewweewwD BD A PD A PD B P()(|)|,0|EeeeeeaD A PDA PPW()(|)|,0|wwwwwaD B PDA PP()()PeewwaD B PD A P(|)|,0|()|1,0|eeewwwD A PPDA PP()E

13、WewaaFF即即 PPEEWWaaa显然不论那种格式，仅仅是显然不论那种格式，仅仅是 (|)A P表达式的区别。表达式的区别。5|)1 0.5|1|0,1 0.5|exp(|)1|0,(1 0.1|)|PPPPPA(|P中心中心迎风迎风混合混合指数指数乘方乘方 A()P1.0迎风迎风指数指数乘方乘方中心中心混合混合P 5-4 5-4 关于假扩散的讨论关于假扩散的讨论原始的假扩散概念原始的假扩散概念 一维非稳态对流方程一维非稳态对流方程（纯对流（纯对流,没有扩散）没有扩散）utx 显示迎风差分格式显示迎风差分格式11,(,)nnnniiiiuoxttx 将上式在将上式在（i，n）点做点做Tay

14、lar级数展开，保留二阶。级数展开，保留二阶。2222(1)(,)2u xu tuoxttxxx 变成了对流变成了对流-扩散问题，新增项叫做假扩散。扩散问题，新增项叫做假扩散。utx（1 1）非稳态或对流项采用一阶阶差的格式。非稳态或对流项采用一阶阶差的格式。（2 2）流向与网格线斜交叉。流向与网格线斜交叉。（3 3）差分格式没有考虑非常数源项的影响。差分格式没有考虑非常数源项的影响。数学原因：数学原因：一阶导数的差分格式的截断误差（第一一阶导数的差分格式的截断误差（第一 项就是二阶导数）造成的。项就是二阶导数）造成的。广义假扩散：广义假扩散：引起较大的数值计算误差。引起较大的数值计算误差。物

15、理后果：物理后果：由于扩散作用使场均化。由于扩散作用使场均化。5-5 5-5 高阶迎风格式与高阶迎风格式与QUICKQUICK格式格式一、二阶迎风格式一、二阶迎风格式 即一阶导数采用具有二阶截差的偏差分格式。即一阶导数采用具有二阶截差的偏差分格式。即在一般迎风差分加上曲率修正。即在一般迎风差分加上曲率修正。(u0)三、三、QUICK格式格式 界面上函数采用二次插值界面上函数采用二次插值 线性插值时线性插值时 1()2ePE二、三阶迎风格式二、三阶迎风格式 （1 1）该对流项有三阶精度。）该对流项有三阶精度。但曲线上凹时，这个但曲线上凹时，这个 e比真值偏大，需加曲率修正。比真值偏大，需加曲率修

16、正。W2,011(),2,028EPePEurvurvPEEEuCCu近风是指近风是指 uvUC是由界面两侧点和上游的另一侧点组成。是由界面两侧点和上游的另一侧点组成。（2 2）该格式具有守恒性。（即从任一界面的两侧的节点）该格式具有守恒性。（即从任一界面的两侧的节点 来写该界来写该界面上的函数值和一阶导数表达式都是相同的）面上的函数值和一阶导数表达式都是相同的）亦即亦即1()()ieiw1()()iiewxx注意注意 由于这时的一维是五点格式，二维为九点，带来由于这时的一维是五点格式，二维为九点，带来两个问题。两个问题。（1 1）第一个内节点的离散方程）第一个内节点的离散方程 当当u0u0时

17、，节点的方程需要重新处理。时，节点的方程需要重新处理。a a、设虚拟点设虚拟点 ，00212b b、采用一阶近风或混合格式。采用一阶近风或混合格式。（2 2）离散方程如何求解。）离散方程如何求解。延迟修正方法：延迟修正方法：把特定的界面值作为上次迭代的已知值归把特定的界面值作为上次迭代的已知值归入源项，从而保证了系数矩阵能为三对角或五对角阵。入源项，从而保证了系数矩阵能为三对角或五对角阵。三、采用二阶近风格式带来的问题。三、采用二阶近风格式带来的问题。01234U5 56 6 对流扩散方程离散化及边界条件对流扩散方程离散化及边界条件一、二维方程一、二维方程 通用形式：通用形式：()()()()

18、()uvStxyxxyy 在控制容积上积分在控制容积上积分 ()()()()neneewnsxxyyswswJJdyJJdxSdxdyt()()uvxyStxy sxywWSnNeE()()()()()()()eeeePeEeeePeEeeePeePeeEJJ DB PA PDA PPA PDD A PD PD A P ()eEePEEJaFa 其它类似，最后可写成：其它类似，最后可写成：PPEEWWNNSSaaaaab对于三点格式对于三点格式EaEaeF()wWWWwPJaaF 3D2 2、中心线，对称边界、中心线，对称边界 000uyy，3 3、固体壁面、固体壁面 二、二、边界条件边界条件 以突扩通道为例以突扩通道为例:1 1、进口边界、进口边界 给定给定 分布分布 均布均布进口进口固体壁固体壁中心线中心线出口出口单向性或单向坐标单向性或单向坐标4 4、出口条件、出口条件