《数学》教案张彬.doc
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1、授课日期月 日 月 日 月 日授课班级人文512-3 人文512-9 人文512-10学期授课计划的章节顺序:第1章 函数与极限 1.2.4 银行复利问题与投资乘数原理授 课 目 的与 要 求:要求学生理解复利的概念,理解什么是银行的复利问题,给出一些参数能够写出其本利和公式,并且熟悉投资乘数原理的基本概念和经济含义。教学方法:讲练结合授课主要教具:新课重点与难点: 重点:理解和掌握银行复利问题,并且能计算出其本利和.难点:投资乘数原理经济含义的理解课外作业(练习题与思考题):任课教师:李胜刚1.2 极限1.2.4 银行复利问题与投资乘数原理新课引入一、银行复利问题复利是指在每经过一个计息期后
2、,都要将所剩利息加入本金,以计算下期的利息。这样,在每一个计息期,上一个计息期的利息都将成为生息的本金,即以利生利,也就是俗称的“利滚利”。二、投资乘数原理投资乘数理论,普遍理解为:在有效需求不足,社会有一定数量的存货可以被利用的情况下,投入一笔投资可以带来数倍于这笔投资的国民收入的增加,因而投资乘数理论是关于投资变化和国民收入变化关系的理论。 新课讲授 一、银行复利问题复利简单地说,就是息上加息。是指资金使用者除了必须对本金部分支付外,对尚未支付的利息部分也必须支付利息。具体是将整个借贷期限分割为若干段,前一段按本金计算出的利息要加入到本金中,形成增大了的本金,作为下一段计算利息的本金基数,
3、直到每一段的利息都计算出来,加总之后,就得出整个借贷期内的利息。 S=A(1+r)n I=SA其中,n为借贷总期数,也为分段计息的次数。在一定的借贷总期限内,分段计息的次数越多,计算出的利息总额越大。二、乘数原理又称倍数原理。指由于连锁反应,某一变量的变化引起另一相关变量成倍变化的经济理论。投资乘数是指由投资变动引起的收入改变量与投资支出改变量之间的比率。投资乘数=1/(1-边际消费倾向)公式可以表示为k=1/(1-b)或Y=I/(1-b) 其中b为边际消费倾向,Y为收入改变量,I为投资支出改变量。凯恩斯提出的消费倾向=消费量/收入量,这是平均消费倾向(APC)。其边际消费倾向(MPC)=消费
4、增量/收入增量,即:MPC=C/Y .随着收入的增加,边际消费倾向递减1。凯恩斯的投资乘数理论是:在一定的边际消费倾向下,新增加的一定量的投资经过一定时间后,可导致收入与就业量数倍的增加,或导致数倍于投资量的GDP。这个理论可用下面的公式概括:GDP=IK (1)K=1/(1-C/Y)=1/(1-消费增量/收入增量) =1/(1-边际消费倾向)=1/边际储蓄倾向(2)式中I为新增投资,K为投资乘数。凯恩斯的投资乘数理论是在社会总收入与总消费的基础上,基于边际消费倾向而产生的宏观投资理论,它没有专门分析区域经济和产业经济中投资拉动问题。课堂练习1一个人为了积累养老金,他每个月按时到银行存100元
5、,银行的年利率为4%,且可以任意分段按复利计算,试问此人在5年后共积累了多少养老金?如果存款和复利按日计算,则他又有多少养老金?如果复利和存款连续计算呢?解 按月存款和计算时,每月的利息为,记为第月末时的养老金数,则由题意得 5年末养老金为(元)当复利和存款按日计算时,记为第天的养老金数,则每天的存款额为,每天的利率为。第天的养老金数量与第天养老金数量的关系为从第1天开始递推为 在5年末时的养老金数为(元)当存款和复利连续计算时,我们先将1年分为个相等的时间区间,则每个时间区间中存款为,每个区间的利息为。记第个区间养老金的数目为,类似于前面的分析得5年后的养老金为(元) (1)再让即得连续存款
6、和计息时5年后的养老金数为(元)观察这三种不同情况下复利的计算问题,我们可以看出将1年分为等份得出的计算公式(1)具有一般性,当分别取12和365时就是前面两种情况下的计算公式。另外,由于是的单调增函数,所以计息间隔越小,5年后的养老金数就越多,但不会超过连续存款和计息时的极限值。在这三种情况下的具体计算结果分别是由于存款和计息的间隔越小时,收益越大,且不需要一次到银行存入较多现金,而是分批逐渐存入,对投资者的资金周转有利。所以在银行按复利计息时,我们建议存款者尽量采用小间隔的策略。2.投资增加100元,边际消费倾向是0.8,则投资的增加使得国民收入的增加量为Y=I/(1-b)=100/(1-
7、0.8)=500(元)投资乘数为k=1/(1-b)=1/(1-0.8)=5 即增加1单位的投资支出可增加5单位的国民收入。本课小结1银行复利问题的有关概念2本利和的相关问题求解3投资乘数原理的经济含义授课日期月 日 月 日 月 日授课班级人文512-3 人文512-9 人文512-10学期授课计划的章节顺序:第1章 函数与极限 1.3 连续性的概念增量的概念 函数的连续性 1.3.3函数的间断点授 课 目 的与 要 求:1、使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义,并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述;2、明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的,使学生清楚区分“连续函
8、数”与“函数连续”所表述的不同内涵.教学方法:讲练结合授课主要教具:新课重点与难点: 重点:函数连续性概念难点:函数在一点和在区间上连续的定义,间断点的分类课外作业(练习题与思考题):任课教师:李胜刚1.3 连续性的概念新课引入我们已经提到过实数的连续性,不过实数的连续性是比较困难的概念,我们不要求掌握,至于这里的函数的连续性,则是另外一个概念,应用极限作为工具,可以很好地加以说明。在上面的关于函数极限的图形说明当中,我们提到一个直观问题,就是存在极限,就意味着随着自变量趋向给定的点,我们希望函数值与极限值之间的距离有多小,就可以通过找到一个与给定点足够接近的自变量值,使得这个自变量取值和给定
9、点之间的所有的自变量取值所对应的函数值,都与极限值之间的距离是足够小的。针对我们关于函数连续的直观观念,我们讨论下面的三种情况:(1)如果函数在某点不存在有限的极限,那么函数在这点的表现肯定是不符合我们关于连续的直观的。这也就是说,函数在这点存在极限,是函数在这点连续的必要条件。那么函数在这点存在极限是否就是在这点连续了的呢?(2)我们在讨论函数极限时,强调了函数并不一定必须在这点是有定义的。如果函数在这点都没有定义,那么显然函数就不可能在这点是连续的了。(3)如果函数在这点是有定义的,而函数在这点的极限并不是函数在这点的函数值,那么可以想象,函数的图形仍然不符合我们关于连续性的观念。因此在直
10、观上,可以很容易地接受下面的连续性定义:我们说函数在某点是连续的,意思是说(1)函数在这点的某个领域内有定义;(2)函数在这点存在极限;(3)函数在这点的极限等于函数在这点的函数值。新课讲授 一、函数的增量设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义。在邻域U(x0)内,,若自变量x从初值x0变到终值x1,,则称Dx=x1-x0为自变量x的增量,称Dy=f(x0+Dx)-f(x0)为函数y的增量。如图所示:当变量x由初值x0变到终值x1时,称终值与初值的差x1-x0为变量x的改变量(增量),记为x,即x=x1-x0 设有函数y=f(x),在函数定义域内,当x从x0变到x0+x时,函
11、数y相应地从f(x0)变到f(x0+x),称y=f(x0+x)-f(x0)为函数y=f(x)在x0处的改变量(增量)。二、函数在一点的连续性(一) 函数在点连续的定义定义1(在点连续)设函数在某内有定义, 若 (1)则称在点连续。注1 函数在点连续, 则必属于的定义域.例1 讨论函数在点处连续性.解 , 函数在点处连续.例2 讨论函数在点处连续性.解 , 函数在点处连续.(二) 函数在点连续的等价定义记, 称为自变量(在点)的增量或改变量. 设, 相应的函数(在点)的增量记为 注2 自变量的增量或函数的增量可以是正数, 也可以是0或负数.设,当时,因此.于是得到如下等价定义:等价定义1 函数在
12、点连续的充分必要条件是.注3 函数在一点连续实质就是: 当自变量变化不大时, 函数值变化也不大.在前面的学习中,我们定义函数的极限时用来叙述,那么现在定义函数在一点的连续性是否也可以用来叙述?可以.由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的,因而也可以用来叙述。等价定义2 ,当时,函数在点连续.由上述定义, 我们可得出函数在点有极限与在点连续这两个概念之间的联系: 1、 在点有极限是在点连续的必要条件.2、 对邻域的要求看:在讨论极限时,假定在内有定义(在点可以没有定义).而在点连续则要求在某内(包括)有定义.3、 极限中,要求,而当“在点连续”时,由于时,恒成立.所以换为:. 最后,由于,因而
13、(1)式又可表示为,等价定义3 在点连续.即“在点连续”意味着“极限运算与对应法则可交换.例3 证明函数在点连续,其中为Dirichlet函数.证 由,对 ,为使,只要取,即可按定义推得在连续.总的来讲,函数在点连续的要求是:在点有定义;存在;. 任何一条不满足,在点就不连续. (三) 在点左(右)连续的定义1、定义定义2:设函数在点()内有定义,若(),则称在点右(左)连续。2、在点连续的等价刻划定理4.1函数在点连续在点既是右连续,又是左连续.如上例3:(右连续),(左连续)。例4 讨论函数在点的连续性.解 , ,而,所以在点右连续,但不左连续,从而它在不连续.例5 设,其中为常数.问:为
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