特殊的平行四边形与梯形.doc

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1、特殊的平行四边形与梯形一、知识要点概述1、矩形、菱形、正方形的定义、判定及性质名称判定性质矩形1、有一个角是直角的平行四边形(定义)2、有三个角是直角的四边形3、对角线相等的平行四边形除具有平行四边形的性质外，还具有以下性质1、四个角都是直角2、对角线相等3、S=ab(a，b表示长和宽)4、既是中心对称图形，又是轴对称图形推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半菱形1、有一组邻边相等的平行四边形(定义)2、四边都相等的四边形3、对角线互相垂直的平行四边形除具有平行四边形的性质外还具有以下性质1、四条边都相等2、对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角3、(l1，l2表示两对角线的长)4、既是中

2、心对称图形，又是轴对称图形正方形1、有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形(定义)2、一组邻边相等的矩形3、一个角是直角的菱形4、对角线相等且垂直的平行四边形除具有平行四边形、矩形、菱形的性质外，还具有以下性质：1、对角线与边夹角为452、S=a2(a表示边长)2、梯形、等腰梯形、直角梯形的定义、判定及性质名称判定性质一般梯形一组对边平行另一组对边不平行的四边形(定义)1、一组对边平行，另一组对边不平行2、或S=lh(a，b，h分别表示上底、下底和高，l表示中位线)等腰梯形1、两腰相等的梯形(定义)2、同一底上的两个角相等的梯形3、两条对角线相等的梯形除具有一般梯形的性质外，还有以下性质：1

3、、两腰相等，同一底上的两个角相等2、对角互补，对角线相等3、是轴对称图形直角梯形有一个角是直角的梯形(定义)除一般梯形的性质外，还有性质：一底角是直角3、三角形、梯形的中位线定理：三角形(或梯形)的中位线平行于底边(或两底)，并且等于底边(或两底和)的一半4、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边推论2：过梯形一腰中点且平行于两底的直线必平分另一腰二、典型例题剖析例1、已知四边形ABCD和对角线AC、BD，顺次连结各边中点得四边形MNPQ，给出以下六个命题：若所得四边形MNPQ为矩形

4、，则原四边形ABCD是菱形；若所得四边形MNPQ为菱形，则原四边形ABCD是矩形；若所得四边形MNPQ为矩形，则ACBD；若所得四边形MNPQ为菱形，则AC=BD；若所得四边形MNPQ为矩形，则BAD=90；若所得四边形MNPQ为菱形，则AB=AD以上命题中，正确的是（）ABCD答案：选B例2、下列命题：一组对边平行且相等的四边形是梯形；一组对边平行且不相等的四边形是梯形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形；一条直线与矩形的一组对边相交，必分矩形为两个直角梯形其中真命题的序号是_分析：可采用反例法，即举的例子符合题设但不符合结论，从而说明原命题是假命题可举反例：平行四边形；可证得另一组

5、对边不平行，故符合定义；可举反例：矩形；直线与矩形垂直相交，则得到两个矩形答案：例3、已知：如图ABCD，AEDC，AE=12，BD=15，AC=20，则梯形的面积是（）A130B140C150D160分析：要求梯形的面积，由于，而AE=12，所以关键是求(ABDC)的长，注意已知BD和AC，这样我们可过B作对角线AC的平行线交DC的延长线于F，则可证AB=CF，于是转化求(DCCF)的长，又过B作BHDC于H，则BH=AE=12，现在只要求DH和HF即可在RtBDH中，利用勾股定理得在RtBHF中，故DF=DHHF=DCAB=916=25这样梯形的面积为答案：选C例4、如图，梯形ABCD中，

6、ADBC，中位线EF分别与BD、AC交于点G，H，若AD=6，BC=10，则GH=_分析：本题主要考查三角形、梯形的中位线定理因为EF是中位线，EG、HF分别是ABD、ACD的中位线，故GH=EFEGHF=833=2答案：2例5、如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，求BED的面积解：由BCD沿直线BD折叠与BCD重合，1=2，又ADBC，2=31=3，故BED是等腰三角形BE=ED设ED=x，则AE=ADED=8x在RtABE中，AB2AE2=BE2，42(8x)2=x2解之得x=5故例6、如图，M、N分别是ABCD的对边AD、BC的中点，

7、且AD=2AB求证：PMQN为矩形证明：ABCD是平行四边形，ADBC又M、N分别是AD、BC的中点，MDBN，BNDM为平行四边形BMND，同理ANMC，PMQN为平行四边形连结MN，AMBN，ABNM为平行四边形又AD=2AB，M为AD中点，AM=ABABNM为菱形，ANBMPMQN为矩形说明：本例是一道平行四边形、菱形、矩形性质定理和判定定理反复运用的较好的综合题，同学们认真体会其证题思路和证明方法例7、如图，过正方形ABCD的顶点B作BEAC且使AE=AC，又CFAE，求证：分析：按常规思路将AEB取半或将BCF加倍，但由于图形的“不规则”性，难于达到目的，易见AEFC为菱形，ACB=

8、45，若结论成立，则ACF=AEF=30，不妨利用正方形和菱形的特性求出E=30证明：连结BD交AC于O，作AHBE于HABCD为正方形，AC与BD互相垂直平分于点O，且AO=BO已知BEAC，已知AHBE易证四边形AOBH为正方形，AEH=30又BEAC，AECF，AE=ACACFE为菱形，AEF=ACF=30，又ACB=45，BCF=15例8、在梯形ABCD中，ADBC且AB=ADBC，M为DC的中点，求证：AMBM分析：由题设AB=ADBC，应将两底集中证明：延长AM交BC延长线于N，M是DC的中点，ADBC，则ADMNCMAD=CN，AM=MN故AB=ADBC=CNBC=BN由等腰三角

9、形“三线合一”知BMAM说明：根据证题的需要，集中梯形的两底是常用辅助线之一，本例也可以先延长BC到N使BN=AB，再证A、M、N共线而得 例9、如图，在等腰梯形ABCD中ADBC，AB=DC，点P为BC边上的一点，PEAB，PFCD，BGCD，垂足分别为E、F、G，求证：PEPF=BG证明：过P点作PHBG于点H，BGCD，PFCD，PHBG，四边形PHGF为矩形PF=HG，PHCD，BPH=C又在等腰梯形ABCD中AB=DC，PBE=C，PBE=BPH故RtBPHRtPBE，BH=PEPEPF=BHHG=BG说明：在梯形的有关问题中常是化归为特殊的平行四边形及三角形来处理例10、如图，AB

10、CD为等腰梯形，ABCD，对角线AC、BD交于O，且AOB=60，又E、F、G分别为DO、AO、BC的中点，求证：EFG为等边三角形分析：这里中点较多，显然，又AD=BC，要能证EG，FG为BC的一半才行，但无法用中位线定理，只有另辟蹊径，注意AOB=60证明：连结EC，ABCD为等腰梯形，AD=BC且AC=BD，又DC=DC，ADCBCD，ACD=BDCODC为等腰三角形DOC=AOB=60，ODC为等边三角形又E为OD中点，OEC=90在RtBEC中，G为斜边的中点，在OAD中，E、F分别是OD、OA的中点，EFG为等边三角形说明：本例中除揭示等腰梯形的诸性质外，还提醒同学们注意遇到中点应

11、联想中位线，但不要只想到中位线，须将所学过的知识综合运用，这里运用了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”冲刺练习一、填空题1、如图ABCD为正方形，M为BC边的中点，将正方形折起，使点A与M重合，折痕为EF，若正方形的面积为64，则AEM的面积为_2、如图，在正ABC中，P为AB边上的一点，Q为AC边上的一点，且AP=CQ，今量得A点与线段PQ的中点M之间的距离是19cm，则P点到C点的距离等于_3、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=10cm，AC与BD相交于G，且AGD=60，设E为CG中点，F为AB中点，则EF的长为_4、如图，在直角梯形ABCD中，DCAB，AB=BC，A

12、GBC于G，且，则ABDC=_5、如图，在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，EC=1，P在BD上，则PE和PC的长度之和的最小值为_6、如图，在四边形ABCD中，ABDC，D=2B，AD和CD的长度分别为a和b，那么AB的长为_7、如图，D、E、F分别是ABC三边的中点，G为AE的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点，则提示二、选择题8、一个三角形的一条边长为10，一个梯形与这个三角形的面积相等，且梯形的高与三角形已知边上的高相等，则梯形两底的和为（）A5B10C20 D无法确定9、如图，在ABC中，M为BC中点，AN平分A，ANBN于N且AB=10，AC=16，则MN等于（）A2B

13、2.5C3D3.510、如图，P为面积为1的正方形ABCD内一点，且BCP为正三角形，则BPD的面积等于（）11、如图，EF为梯形ABCD中平行底的直线，已知DF=4cm，且，则DC的长为（）A5cmB6cmC8cmD10cm12、一个矩形的对角线等于长边的一半与短边的和，则短边与长边的比为（）13、平行于底边的两条直线将梯形的高三等分，若梯形的上底为2，下底为4，则梯形被分成的三部分面积之比是（）A456B6810C7911 D8101214、如图，四边形ABCD是一个梯形，ABCD，ABC=90，AB=9cm，BC=8cm，CD=7cm，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的

14、长等于（）A1cmB1.5cmC2cmD2.5cm答案三、解答题15、如图，E为正方形ABCD的AD边中点，BD交CE于F，求证：AFBE答案16、如图，ABC中，BAC=120，以AB、AC为边分别向形外作正ABD和正ACE，M、N、P分别为AD、AE、BC的中点，试求MPN的度数答案17、如图，在四边形ABCD中AD=BC，E、F分别为CD、AB的中点，直线EF与AD、BC的延长线分别交于H及G，求证：AHF=BGF答案18、如图，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC分SADCSABC=23，而对角线中点M、N的连线长为10cm，求梯形两底的长答案19、如图，在等腰ABC的两腰AB、AC

15、上，分别取点E和F，使AE=CF，已知BC=2，求证：EF1并说明其中等号何时成立？答案20、设P为正方形ABCD内一点，且满足PAPBPC=123，求APB的度数答案答案：1、10提示：设AE=x，则EM=x，EB=8x，BM=4，在RtBEM中x2=(8x)242，解得x=5，2、38cm提示：过Q作QRAB交BC于R，连接PR，MR，则CQR为等边三角形，QRAP，APRQ为平行四边形，M为其对角线的交点，再依BPR为等边三角形知ABRCBP得PC=AR=2AM=38cm3、5cm提示：连接BE，易知BCG是正三角形，EF为RtABE斜边AB上的中线，4、31提示：连接AC，由题意知：B

16、CA=CAB=DCA，ACDACG，ABDC=315、提示：如图，连接AE交BD于P，连接AP，则AP=PC，易知，故其最小值为6、ab提示：过D作DECB交AB于E，则CDE=B=AED=ADE，AE=AD=a，EB=DC=b，AB=ab7、提示：易知BDEF为平行四边形，P为DF的中点，连接FG，则，故Q为DG的中点，8、B提示：设梯形中位线为x，高为h，由题意知，x=5，两底之和为109、C提示：延长BN交AC于D，则AD=AB，CD=6，MN为BCD的中位线，12、B提示：设长边为a，短边为b，则依勾股定理有：13、C提示：设中间两线段长为x，y，依中位线定义知2x=2y，2y=x4，

17、解得，其面积比为三个小梯形两底之和的比14、C提示：连接DN,AN,则AN=DN,设BN=x,依勾股定理有92x2=72(8x)2，解得x=215、提示：在AEG与CDE中先证DAF=DCF，AEB=DEC，则AGE=CDE=90 16、提示：连接MN，DE，易证DE=BC且，连接CN，则CNAE，显然B、A、E共线，PN为斜边BC上中线，故PMN为正三角形，MPN=60 17、提示：如图，连接BD，取其中点M，则,13，2=4，由BC=AD，则3=4，故1=2，即AHF=BGF18、提示：如图，取CD中点G，连接NG，先证M、N、G共线，由SADCSABC=23知ADBC=23，设AD=2k，BC=3k，则NG=k，MG=1.5k，由MN=10cm，则k=20，故AD=40cm，BC=60cm19、提示：平移BC到EG，证AEFCFG得EF=FG，由EFFGEG得EF1，其中当EF为ABC的中位线时取等号 20、提示：如图，将ABP绕B点顺时针方向旋转90到CBP位置，连PP则PBP为等腰Rt，PPB=45，设PA=a，则PB=PB=2a，又PC=3a，PC=PA=a，依PC2=PP2PC2知PPC=90，故APB=BPC=135