空间位置的描述与分析.ppt

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1、 3 1基本知识 3 2地图投影原理 3 3地理信息系统中地图投影的配置与设计 主要内容 第三章空间位置的描述与分析 3 4中国常用的地图投影系列 3 5空间坐标计算 第三章空间位置的描述与分析 Basicproblem EarthisroundPaperisflat 将地球球面转换为平面的理论和方法是地图投影学的研究内容 3 1基本知识 一 地理坐标 1 纬度设椭球面上有一点P 通过P点作椭球面的垂线 称之为过P点的法线 法线与赤道面的交角 叫做P点的地理纬度 简称纬度 通常以字母 表示 纬度从赤道起算 在赤道上纬度为0度 纬线离赤道愈远 纬度愈大 至极点纬度为90度 赤道以北叫北纬 以南叫

2、南纬 2 经度过P点的子午面与通过英国格林尼治天文台的子午面所夹的二面角 叫做P点的地理经度 简称经度 通常用字母 表示 国际规定通过英国格林尼治天文台的子午线为本初子午线 或叫首子午线 作为计算经度的起点 该线的经度为0度 向东0 180度叫东经 向西0 180度叫西经 Longitude primemeridian 0 Latitude equator 0 3 地面上点位的确定 地面上任一点的位置 通常用经度和纬度来决定 即 经线和纬线是地球表面上两组正交 相交为90度 的曲线 这两组正交的曲线构成的坐标 称为地理坐标系 Pittsburgh 80 40 3 1基本知识 二 平面上的坐标系

3、 地理坐标是一种球面坐标 由于地球表面是不可展开的曲面 也就是说曲面上的各点不能直接表示在平面上 因此必须运用地图投影的方法 建立地球表面和平面上点的函数关系 使地球表面上任一点由地理坐标 确定的点 在平面上必有一个与它相对应的点 平面上任一点的位置可以用极坐标或直角坐标表示 地图投影的任务 根据一定的要求 寻找 到 X Y 这两个点集间的变换关系 用数学函数描述就是 X f1 Y f2 同时还要研究由此而产生的各种变形 量算 应用等问题 3 2地图投影原理 一 地图投影概念 在数学中 投影 Project 的含义是指建立两个点集间一一对应的映射关系 同样 在地图学中 地图投影就是指建立地球表

4、面上的点与投影平面上点之间的一一对应关系 地图投影的基本问题就是利用一定的数学法则把地球表面上的经纬线网表示到平面上 由于地球椭球体表面是曲面 而地图通常是要绘制在平面图纸上 因此制图时首先要把曲面展为平面 然而球面是个不可展的曲面 即把它直接展为平面时 不可能不发生破裂或褶皱 若用这种具有破裂或褶皱的平面绘制地图 显然是不实际的 所以必须采用特殊的方法将曲面展开 使其成为没有破裂或褶皱的平面 地图投影研究的基本任务就是在控制误差 保证精度 的前提下 完成球面到平面的转换 二 地图投影的基本分类 3 2地图投影原理 地图投影的种类很多 为了学习和研究的方便 应对其进行分类 由于分类的标志不同

5、分类方法就不同 从使用地图的角度出发 需要了解下述几种分类 1 按变形性质分类 按变形性质地图投影可以分为三类 等角投影等积投影任意投影 1 等角投影 Conformal 定义为任何点上二微分线段组成的角度投影前后保持不变 亦即投影前后对应的微分面积保持图形相似 故可称为正形投影 在等角投影中 微分圆经投影后仍为圆形 只随点位 纬度增 而有变化 面积有较大变形 3 2地图投影原理 3 2地图投影原理 2 等面积投影 EquivalentorEqualArea 定义为某一微分面积投影前后保持相等 亦即其面积比为1 即在投影平面上任意一块面积与椭球面上相应的面积相等 即面积变形等于零 在等面积投影

6、中 微分圆变成不同形状的椭圆 但变形椭圆面积保持相等 只有角度产生很大变形 3 2地图投影原理 3 等距投影 Equidistant 在任意投影上 长度 面积和角度都有变形 它既不等角又不等积 但是在任意投影中 有一种比较常见的等距投影 定义为沿某一特定方向的距离 投影前后保持不变 即沿着该特定方向长度比为1 在这种投影图上并不是不存在长度变形 它只是在特定方向上没有长度变形 等距投影的面积变形小于等角投影 角度变形小于等积投影 2 按构成方法分类 3 2地图投影原理 按照构成方法 可以把地图投影分为两大类 几何投影和非几何投影 1 几何投影几何投影是把椭球面上的经纬线网投影到几何面上 然后将

7、几何面展为平面而得到 根据几何面的形状 可以进一步分为下述几类 Planar Conical Cylindrical 1 1 方位投影 以平面作为投影面 使平面与球面相切或相割 将球面上的经纬线投影到平面上而成 3 2地图投影原理 1 2 圆柱投影 以圆柱面作为投影面 使圆柱面与球面相切或相割 将球面上的经纬线投影到圆柱面上 然后将圆柱面展为平面而成 3 2地图投影原理 1 3 圆锥投影 以圆锥面作为投影面 使圆锥面与球面相切或相割 将球面上的经纬线投影到圆锥面上 然后将圆锥面展为平面而成 这里 我们可将方位投影看作圆锥投影的一种特殊情况 假设当圆锥顶角扩大到180度时 这圆锥面就成为一个平面

8、 再将地球椭球体上的经纬线投影到此平面上 圆柱投影 从几何定义上讲 也是圆锥投影的一个特殊情况 设想圆锥顶点延伸到无穷远时 即成为一个圆柱 3 2地图投影原理 投影方法示意图 我们可以由投影面与地球轴向的相对位置划分为 正轴投影 投影面的中心轴与地轴重合 斜轴投影 投影面的中心轴与地轴斜向相交 横轴投影 投影面的中心轴与地轴相互重合 2 非几何投影不借助几何面 根据某些条件用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系 在这类投影中 一般按经纬线形状又分为下述几类 2 1 伪方位投影 纬线为同心圆 中央经线为直线 其余的经线均为对称于中央经线的曲线 且相交于纬线的共同圆心 2 2 伪圆柱投影

9、纬线为平行直线 中央经线为直线 其余的经线均为对称于中央经线的曲线 2 3 伪圆锥投影 纬线为同心圆弧 中央经线为直线 其余经线均为对称于中央经线的曲线 2 4 多圆锥投影 纬线为同周圆弧 其圆心均为于中央经线上 中央经线为直线 其余的经线均为对称于中央经线的曲线 3 2地图投影原理 3 按照投影面积与地球相割或相切分类 1 割投影以平面 圆柱面或圆锥面作为投影面 使投影面与球面相割 将球面上的经纬线投影到平面上 圆柱面上或圆锥面上 然后将该投影面展为平面而成 2 切投影以平面 圆柱面或圆锥面作为投影面 使投影面与球面相切 将球面上的经纬线投影到平面上 圆柱面上或圆锥面上 然后将该投影面展为平

10、面而成 3 2地图投影原理 对一个投影的命名 往往是根据投影所具有的特征按照多个分类特征联合命名的 三 地图投影的变形 3 2地图投影原理 地图投影的方法很多 用不同的投影方法得到的经纬线网形式不同 用地图投影的方法将球面展为平面 虽然可以保持图形的完整和连续 但它们与球面上的经纬线网形状并不完全相似 这表明投影之后 地图上的经纬线网发生了变形 因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地面事物 也必然随之发生变形 这种变形使地面事物的几何特性 长度 方向 面积 受到破坏 把地图上的经纬线网与地球仪上的经纬线网进行比较 可以发现变形表现在长度 面积和角度三个方面 分别用长度比 面积比的变化显示投影中长

11、度变形和面积变形 1 长度变形即地图上的经纬线长度与地球仪上的经纬线长度特点并不完全相同 地图上的经纬线长度并非都是按照同一比例缩小的 这表明地图上具有长度变形 长度比 地面上微分线段投影后的长度ds 与其相应的实地长度ds之比 如用符号 表示长度比 那么 ds ds 长度变形 长度比与1之差值 如用符号V 表示长度变形 即 V 1 投影上的长度比不仅随该点的位置而变化 而且随着在该点上不同方向而变化 这样 在一定点上的长度比必存在有最大值和最小值 称其为极值长度比 并通常用符号a和b表示极大与极小长度比 极值长度比的方向称为主方向 沿经线和纬线方向的长度比分别用符号m n表示 在经纬线正交投

12、影中 沿经纬线方向的长度比即为极值长度比 此时m a或b n b或a表示 3 2地图投影原理 2 面积变形即由于地图上经纬线网格面积与地球仪经纬线网格面积的特点不同 在地图上经纬线网格面积不是按照同一比例缩小的 这表明地图上具有面积变形 面积比 地面上微分面积投影后的大小dF 与其相应的实地面积dF的比称为面积比 通常用符号P表示 即 P dF dF 面积变形 面积比与1之差值 用符号Vp表示 那么 Vp P 1 3 2地图投影原理 是指地图上两条微分线段所夹的角度不等于球面上相应的角度 如下图 只有中央经线和各纬线相交成直角 其余的经线和纬线均不呈直角相交 而在地球仪上经线和纬线处处都呈直角

13、相交 这表明地图上有了角度变形 角度变形 地面上某一角度投影后的角值 与其实际的角值 之差 即 在一定点上 方位角的变形随不同的方向而变化 所以一点上不同方向的角度变形是不同的 投影中 一定点上的角度变形的大小是用其最大值来衡量的 即称最大角度变形 通常用符号 表示 3 2地图投影原理 2 角度变形 4 变形椭圆 地球面上无穷小圆在投影中通常不可能保持原来的形状和大小 而是投影成为不同大小的圆或各种形状大小的椭圆 统称为变形椭圆 一般可以根据变形椭圆来确定投影的变形情况 如投影后为大小不同的圆形 见图 1 a b则该投影为等角投影 如果投影后为面积相等而形状不同的椭圆 如图 2 a b r2则

14、该投影为等面积投影 如果投影后为面积不等形状各不相同的椭圆 如图 3 则为任意投影 其中如果椭圆的某一半轴与微分圆的半径相等 如b r则为等距离投影 从变形椭圆中还可看出 变形椭圆的长短半轴即为极值长度比 长轴与短轴的方向即主方向 3 2地图投影原理 3 3地理信息系统中地图投影的配置与设计 一 地图投影与GIS的关系 地图是地理信息系统的主要数据来源 即地理信息系统的数据多来自于各种类型的地图资料 不同的地图资料根据其成图的目的与需要的不同而采用不同的地图投影 当来自这些地图资料的数据进入计算机时 首先就必须将它们进行转换 用共同的地理坐标系统和直角坐标系统作为参照系来记录存储各种信息要素的

15、地理位置和属性 保证同一地理信息系统内 甚至不同的地理信息系统之间 的信息数据能够实现交换 配准和共享 否则后续所有基于地理位置分析 处理及应用都是不可能的 地图投影对地理信息系统的影响是渗透在地理信息系统建设的各个方面的 它们之间的相互关系见图 二 GIS中地图投影的配置与设计 通过对国内外各种地理信息系统分析 可以发现 各种地理信息系统中投影系统的配置与设计一般具有以下的特点 1 各个国家的地理信息系统所采用的投影系统与该国的基本比例尺地图系列所用的投影系统一致 2 地理信息系统中各种比例尺的投影系统与其相应比例尺的主要信息源地图所用的投影一致 3 各地区的地理信息系统中的投影系统与其所在

16、区域适用的投影系统一致 4 各种地理信息系统一般只采用一种或两种投影系统 以保证地理定位框架的统一 3 3地理信息系统中地图投影的配置与设计 加拿大地理信息系统 简称为CGIS 是世界上公认的第一个地理信息系统 这个系统的最主要的信息源是12000张各种用途的土地利用图 其比例尺系列为1 12 5万 1 25万 1 50万 这些土地利用图是用同比例尺的地形图系列为地理底图编制而成的 采用了与加拿大国家地形图系列一致的地图投影系统 即大于 等于1 50万时采用通用横轴墨卡托投影 UTM投影 小于1 50万时采用正轴等角割圆锥投影 Lambert投影 CGIS以UTM投影作为系统的地理基础 考虑到

17、图幅数量和使用方便等原因 选定了以1 25万作为系统的主比例尺 虽然小于1 50万的地图上精确定位信息小 可量测性差 但鉴于CGIS的数据处理子系统具有自动拼幅形成较大区域数据库的能力 以及CGIS以全国 省 市 地方四级为存储 分析 检索和输出层次 且加拿大国家基本比例尺地图多采用Lambert投影 故该系统同时配置了Lambert投影作为中小比例尺数据的地理基础 日本国土信息系统 ISLAND 是日本国家地理信息系统中最具规模和最具代表性的 它的目的是更为有效的管理有关国土的各种数字化信息和图像信息 它的主要数据来源是地形图 土地利用图 航片和卫片 日本的地形图和土地利用图系列采用了UTM

18、投影 卫片采用了斜轴墨卡托 HOM 投影 航片采用了UTM投影 故ISLAND采用了UTM投影 美国的地理信息系统建设以先分散后统一为其特点 其所建系统的数量之多遥遥领先于世界上任何一个国家 UTM投影是美国国家基本比例尺地图系统所用的投影系统 州平面坐标系是美国国家海洋测量局 在国家大地测量系统中的UTM投影的基础上 为每个州设计的平面坐标系统 州平面坐标系统以高斯 克吕格投影 等角横切椭圆柱投影 和Lambert投影为主 局部地区采用了HOM投影 州平面坐标系在设计时已经顾及到了投影对所在区域的地理适应性 保证了该州范围内投影的精度 故大多数州际的地理信息系统也选用了州平面坐标系为系统的数

19、学基础 3 3地理信息系统中地图投影的配置与设计 由此 可以给出地理信息系统中地图投影配置的一般原则为 1 所配置的投影系统应与相应比例尺的国家基本图 基本比例尺地形图 基本省区图或国家大地图集 投影系统一致 2 系统一般最多只采用两种投影系统 一种服务于大比例尺的数据处理与输入输出 另一种服务于中小比例尺 3 所用投影以等角投影为宜 4 所用投影应能与网格坐标系统相适应 即所用的网格系统在投影带中应保持完整 3 3地理信息系统中地图投影的配置与设计 3 4中国常用的地图投影系列 地图投影选择得是否恰当 直接影响地图的精度和使用价值 这里所讲的地图投影选择 主要指中 小比例尺地图 不包括国家基

20、本比例尺地形图 因为国家基本比例尺地形图的投影 分幅等 是由国家测绘主管部门研究制订 不容许任意改变的 另外编制小区域大比例尺地图 无论采用什么投影 变形都是很小的 选择制图投影时 主要要考虑以下因素 制图区域的范围 形状和地理位置 地图的用途 出版方式及其他特殊要求等 其中制图区域的范围 形状和地理位置是主要因素 一 世界地图的投影世界地图的投影主要考虑要保证全球整体变形不大 根据不同的要求 需要具有等角或等积性质 主要包括 等差分纬线多圆锥投影 正切差分纬线多圆锥投影 1976年方案 任意伪圆柱投影 正轴等角割圆柱投影 二 半球地图的投影东 西半球有横轴等面积方位投影 横轴等角方位投影 南

21、 北半球有正轴等面积方位投影 正轴等角方位投影 正轴等距离方位投影 3 4中国常用的地图投影系列 三 各大洲地图投影1 亚洲地图的投影 斜轴等面积方位投影 彭纳投影 2 欧洲地图的投影 斜轴等面积方位投影 正轴等角圆锥投影 3 北美洲地图的投影 斜轴等面积方位投影 彭纳投影 4 南美洲地图的投影 斜轴等面积方位投影 桑逊投影 5 澳洲地图的投影 斜轴等面积方位投影 正轴等角圆锥投影 6 拉丁美洲地图的投影 斜轴等面积方位投影 四 中国各种地图投影我国的各种地理信息系统中都采用了与我国基本比例尺地形图系列一致的地图投影系统 这就是大于等于1 50万时采用高斯 克吕格投影 1 100万采用正轴等角

22、割圆锥投影 这种坐标系统的配置与设计是因为 1 我国基本比例尺地形图 1 5千 1 1万 1 2 5万 1 5万 1 10万 1 25万 1 50万和1 100万 中大于等于1 50万的图均采用高斯 克吕格投影为地理基础 2 我国1 100万地形图采用正轴等角割圆锥投影 其分幅与国际百万分之一所采用的分幅一致 3 我国大部分省区图多采用正轴等角割圆锥投影和属于同一投影系统的正轴等面积割圆锥投影 4 正轴等角圆锥投影中 地球表面上两点间的最短距离 即大圆航线 表现为近于直线 这有利于地理信息系统中空间分析和信息量度的正确实施 因此 我国地理信息系统中采用高斯投影和正轴等角圆锥投影既适合我国的国情

23、 也符合国际上通行的标准 3 4中国常用的地图投影系列 一 高斯 克吕格投影我国现行的大于及等于1 50万比例尺的各种地形图都采用高斯 克吕格投影 简称高斯投影 1 基本概念高斯 克吕格投影是一种横轴等角 切 椭圆柱投影 它是将一椭圆柱横切于地球椭球体上 该椭圆柱面与椭球体表面的切线为一经线 投影中将其称为中央经线 然后根据一定的约束条件 投影条件 将中央经线两侧规定范围那的点投影到椭圆柱面上从而得到点的高斯投影 3 4中国常用的地图投影系列 1 中央经线 椭圆轴和地球椭球体的切线 和赤道投影成垂直相交的直线 2 投影后没有角度变形 即经纬线投影后仍正交 3 中央经线上没有长度变形 等变形线为

24、平行于中央经线的直线 根据上述三个条件 即可导出高斯投影的直角坐标基本公式 式中 X Y 平面直角坐标系的纵 横坐标 j 椭球面上地理坐标系的经纬度 分别自赤道和投影带中央经线起算 s 由赤道至纬度 的子午线弧长 N 纬度 处的卯酉圈曲率半径 可据纬度由制图用表查取 2 e 2cos2 其中e 2 a2 b2 b2 为地球的第二偏心率 a b分别为地球椭球体的长短轴 3 4中国常用的地图投影系列 2 高斯 克吕格投影的基本条件 3 高斯 克吕格投影的变形 3 4中国常用的地图投影系列 高斯投影没有角度变形 面积变形是通过长度变形来表达的 其长度变形的基本公式为 由该长度比公式可以分析出高斯投影

25、变形具有以下特点 1 中央经线上没有长度变形 即 0时 1 2 在同一条纬线上 离中央经线越远变形越大 即 增大 也增大 3 在同一条经线上 纬度越低 变形越大 即 越小 越大 下表为高斯投影3 带内长度变形值 下表说明 投影变形最大值在赤道和投影边缘经线的交点上 当经差为 3 时 长度变形为1 38 3 带范围内最大长度变形为0 38 为了控制投影变形不致过大 保证地形图精度 高斯投影采用分带投影方法 即将投影范围的东西界加以限制 使其变形不超过一定的限度 4 高斯 克吕格投影的分带规定 由于高斯投影在中央经线上无长度变形 而离中央经线越远其变形越大 因此为了控制变形不至过大 我国地形图采用

26、分带方法 即将地球按一定间隔的经差 6度或3度 化分为若干相互不重叠的投影带 各带分别投影 我国规定1 1万 1 2 5万 1 5万 1 10万 1 25万 1 50万比例尺地形图 均采用高斯克吕格投影 1 2 5至1 50万比例尺地形图采用经差6度分带 1 1万比例尺地形图采用经差3度分带 6度带是从0度子午线起 自西向东每隔经差6为一投影带 全球分为60带 各带的带号用自然序数1 2 3 60表示 即以东经0 6为第1带 其中央经线为3E 东经6 12为第2带 其中央经线为9E 其余类推 3度带 是从东经1度30分的经线开始 每隔3度为一带 全球划分为120个投影带 3 4中国常用的地图投

27、影系列 5 高斯平面直角坐标网 高斯投影平面直角网 它是由高斯投影每一个投影带构成一个单独的坐标系 投影带的中央经线投影后的直线为x轴 纵轴 赤道投影后的直线为y轴 横轴 它们的交点为原点 我国位于北半球 全部x值都是正值 在每个投影带中则有一半的y值为负 为了使计算中避免横坐标y值出现负值 规定每带的中央经线西移500公里 由于 高斯投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值 所以 各带的坐标完全相同 为了指出投影带是哪一带 规定要在横坐标 通用值 之前加上带号即可 因此 计算一个带的坐标值 制成表格 就可供查取各投影带的坐标时使用 有关地形图图廓点坐标值可从 高斯 克吕格坐标表 中查

28、取 如图 A B两点原来的横坐标分别为 y A 245863 7m yB 168474 8m 纵坐标轴西移500公里后 其横坐标分别为 yA 745863 7m yB 331525 2m 加上带号 如A B两点位于第20带 其通用坐标为 yA 20745863 7myB 20331525 2m 3 4中国常用的地图投影系列 二 正轴等角圆锥投影1 基本概念假想一个圆锥其轴与地球椭球旋转轴重合地套在椭球上 按等角的条件把地球椭球上经纬线投影到圆锥面上 然后沿一条母线 经线 将圆锥面切开展成平面 这就是正轴等角圆锥投影 这种投影最适合于中纬度地区 为世界上许多国家制作地图所使用 我国新编的1 10

29、0万地图采用双标准纬线正等轴角圆锥投影 见下图 即圆锥面与椭球面相割的两条纬线圈 称之为标准纬线 1 2 采用双标准纬线的相割比采用单标准纬线的相切 其投影变形小而均匀 为了提高投影精度 我国1 100万地图的投影是按百万分之一地图的纬度划分原则 从0 开始 纬差4 一幅 从南到北共分成15个投影带 每个投影带单独计算坐标 建立数学基础 3 4中国常用的地图投影系列 正等角割圆锥投影及其经纬线图形 两条标准纬线近似地选在下式所示的位置 1 s 30 2 N 30 处于同一投影带中的各图幅的坐标成果完全相同 因此 每投影带只需计算其中一幅图 纬差4 经差6 的投影成果即可 双标准纬线 3 4中国

30、常用的地图投影系列 2 投影变形 正等角割圆锥投影变形的分布规律是 1 角度没有变形 即投影前后对应的微分面积保持图形相似 故亦可称为正形投影 2 等变形线和纬线一致 同一条纬线上的变形处处相等 3 两条标准纬线上没有任何变形 4 在同一经线上 两标准纬线外侧为正变形 长度比大于1 而两标准纬线之间为负变形 长度比小于1 因此 变形比较均匀 绝对值也比较小 5 同一纬线上等经差的线段长度相等 两条纬线间的经线长度处处相等 右图是用微分圆表示的双标准纬线正等角圆锥投影的变形分布情况 由于采用分带投影 每带纬差较小 我国范围内的1 100万地图变形值几乎相等 其长度变形最大不超过 0 03 南北图

31、廓 中间纬线上 面积变形约为长度变形的2倍 由于是纬差4 分带投影的 所以当沿着纬线方向拼接地图时 不论多少图幅 均不会产生裂隙 3 4中国常用的地图投影系列 但是 当沿着经线方向拼接时 因拼接线分别处于上下不同的投影带 投影后的曲率不同 致使拼接时产生裂隙 其裂隙角 和最大裂隙距 可由下式计算 sin2 cos Lsin 式中 和L分别为图幅的经差和边长 当上下两幅拼接时 例如J区和K区两图幅 接点在中间 40 6 2 3 L 512 2mm 按上述公式算出 4 82 0 36mm当四幅图拼接时 例如J区和K区各两幅拼接 40 6 L 512mm 按上述公式算出 9 625 1 43mm 两

32、幅图拼接四幅图拼接 3 4中国常用的地图投影系列 3 5空间坐标计算 空间物体的位置显然可以通过多种坐标系来描述 由于途径不一样 可能使用的坐标系也不相同 这就需要进行坐标间的转换 一 数字化坐标 X Y 与投影坐标 X Y 的换算在GIS中 空间信息都是以数字形式存在于计算机内的 在将空间信息输入计算机时 首先得到的是空间物体的关于数字化平台的数字化坐标系坐标 因而在GIS建立 数据处理 应用及空间分析过程中就经常会涉及到数字化坐标与投影坐标间的相互换算问题 1 已知数字化坐标 X Y 求投影坐标 X Y X0 Y0 X Y X0 Y0 为该图幅左下角点的数字化坐标 X0 Y0 为该点相应的

33、投影坐标 X Y 为图幅中任意一点的数字化坐标 X Y 为该点相应的投影坐标因图幅底边与数字化坐标系间会存在一交角 则对任意点的投影坐标有下式成立 X X0 dXY Y0 dY据坐标系旋转变换理论 并考虑到投影坐标轴的X Y与数字化坐标轴X 与Y 相反 有 dX X X0 sin Y Y0 cos 100 MdY X X0 cos Y Y0 sin 100 M因而有数字化坐标与投影坐标的换算公式为 将以厘米为单位的数字化坐标值换算成以米为单位的实际投影坐标值 X X0 X X0 sin Y Y0 cos 100 MY Y0 X X0 cos Y Y0 sin 100 M 2 已知投影坐标 X

34、Y 求数字化坐标 X Y 当任意点的投影坐标 X Y 已知时 有dX X X0 M 100dY X X0 M 100则数字化坐标的计算公式为 X X0 dXsin dYcos Y Y0 dXYcos dYsin 二 地理坐标 与投影坐标 X Y 的换算 是全球共用的空间物体位置描述的统一的地理坐标系 任何物体在 地理坐标系中位置是唯一确定的 因为这是一个绝对坐标系统 X Y 是投影平面直角坐标系 由于地图投影函数及投影区域不同 使得对投影坐标系选择会产生一定的差异 因此它是一个相对坐标系 1 解析方法包含两种情况 即正解和反解 所谓反解是指若设投影计算公式为 X f1 F1 X Y Y f2

35、F2 X Y 即 X Y 反解方法一般用于投影方程已知且反解容易的情况 例如对于前面所介绍的各类正轴圆锥投影的地理坐标就可以用反解方法进行解算 3 5空间坐标计算 2 数值方法对于以数字形式存在于计算机内的地图 其上任意一点的直角坐标 投影坐标 都应是可求的 对于图上的所有的经纬网交点来说 我们不但知道它们的投影坐标 也知道它们的地理坐标 我们将这些经纬网交点作为已知点 采用数值方法 用它们来构造函数 解算出地理坐标与投影坐标间关系的解析式 从而对于图上的任意一点P 都可以用这一解析式去解算出其相应的地理坐标 从而实现对空间物体进行定位的目的 如果经纬线网格为相互垂直的两组平行线 我们就可以采

36、用构造空间曲面的方法解求 F1 X Y F2 X Y 空间曲面的构造可以采用曲面插值方法或者曲面逼近方法 插值方法要求构造曲面在已知点处取已知点地值 即 i F1 Xi Yi i F2 Xi Yi i 1 2 曲面逼近方法采用其他一些约束条件 如离差平方和最小 i F1 Xi Yi 2 min i F2 Xi Yi 2 min 3 5空间坐标计算 三 基于曲面插值的坐标变换由于资料类型 来源以及获取时间的差异使得不同资料间的坐标系各不相同 因此通过坐标变换以求得坐标系的统一是空间分析的前期准备工作之一 也是其重要的内容之一 利用曲面插值方法 就可以通过计算机来解决任意两幅图之间的拼贴和坐标的转

37、换与统一 1 两个三角形之间的线性变换 ABC和 A B C 为两个任意三角形 其形状和大小可以毫不相关 设两个三角形顶点坐标分别为 A X1 Y1 A X 1 Y 1 B X2 Y2 B X 2 Y 2 C X3 Y3 C X 3 Y 3 则我们可以建立 ABC和 A B C 之间的线性变换F 保证 ABC中任意一点P X Y 都唯一地对应于 A B C 中的一点P X Y 该线性变换表示如下 F X f1 X Y a0 a1X a2YY f2 X Y b0 b1X b2Y 3 5空间坐标计算 这就意味着三角形边上的点经F变换后其象与相应顶点之间的位置比例关系不变 这说明了 ABC变换到 A

38、 B C 同时 ACD变换到 A C D 尽管是两个不同的变换 但其公共边上保持了变换的连续性 这正好是空间数据坐标变换中所必须的 由于 ABC与 A B C 之间任意变形 可以保证任意变形的地图资料都可以通过三角形剖分来进行坐标归算 点P X Y 位于三角形的边AC上 并有 P A 1 C 0 1 则P X Y 为 X a0 a1X a2Y a0 a1 X1 1 X3 a2 Y1 1 Y3 X1 1 X3 类似地亦有 Y Y1 1 Y3 即P A 1 C 2 点在三角形内的判别为了利用三角形剖分来进行坐标变换 对给定点P X Y 必须首先判断其是否位于某个三角形内或其边界上 ABC的三条边l

39、1 l2 l3为三个直线段 其直线方程分别为 l1 F1 X Y 0l2 F2 X Y 0l3 F3 X Y 0 3 4空间坐标计算 平面上的直线F1 F2 F3的共同特性是它们均将平面划分为两个半平面 在一侧恒有Fi X Y 0 另一侧恒有Fi X Y 0 i 1 2 3 上式的含义是 如果P ABC 则有 P和A处于l1的同一侧 P和B处于l2的同一侧 P和C处于l3的同一侧 P1不满足 和A处于l1的同一侧 这一条件P2不满足 和B处于l2的同一侧 这一条件P3不满足 和C处于l3的同一侧 这一条件故P1 P2 P3均不在 ABC内 3 坐标变换的实施对两幅地图M1和M2 我们分别在其中

40、找出若干同名点作为变换的控制点 已知点 在M1和M2中 以相同的联结关系构造三角网 保证如果在M1中有 PiPjPk 则在M2中必有 Pi Pj Pk 若将M1归算到M2的坐标系中去 则对M1中所有目标进行点在三角形中的判别以及相应的坐标变换 3 4空间坐标计算 4 任意变换设有已知点对Ai Xi Yi Ai Xi Yi i 1 2 n Ai与Ai 对应 以n对点作为已知点 我们可以拟合两个插值曲面f1和f2 使得 f1 Xi Yi Xi f2 Xi Yi Yi i 1 2 n 根据插值理论 f1 f2的表达式有且只能有n个未知系数 这样我们可以通过待定系数法解算 取f1 f2为双K次多项式形式 则有 3 4空间坐标计算 四 基于曲面逼近的坐标变换在两幅扫描图像之间的匹配 为了获得匹配的总体上的准确性 可以牺牲已知点上的精度 此时采用曲面逼近的方法要更为合适 曲面逼近考虑的是总体效果 个别异常点产生的影响较曲面插值小得多 设已知点对A1 A1 A2 A2 An An 其变换函数为 X f1 X Y Y f2 X Y 根据最小二乘原理 我们有 Qx Xi f1 Xi Yi 2 minQY Yi f2 Xi Yi 2 min在上式中取这便成为两个双K次的趋势面分析问题 3 4空间坐标计算