龚漫奇高阶线性微分方程.ppt

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1、7.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程(P329)(P329)形形如如行行倒倒数数第第)7331( P)()()()()(1)2(2)1(1)(xfyxPyxPyxPyxPynnnnn .阶线性微分方程阶线性微分方程的方程称为的方程称为n中中讲讲过过，的的情情形形已已在在)314(4 . 71Pn .1阶线性微分方程阶线性微分方程时就是高时就是高 n.主主要要讲讲二二阶阶方方程程;,0)()14331(称称为为齐齐次次线线性性微微分分方方程程时时行行倒倒数数 xfP.,0)()13331(称称为为非非齐齐次次线线性性方方程程时时行行倒倒数数 xfP)331(. 1P线线性性微微分分方方程程解

2、解的的结结构构)41,(的的综综合合是是定定理理书书上上无无广广义义叠叠加加原原理理定定理理 分分别别是是方方程程、设设函函数数21yy)1()()()(1 xfyxQyxPy)2()()()(2 xfyxQyxPy是是方方程程为为任任意意常常数数则则),(212211CCyCyCy )3()()()()(2211 xfCxfCyxQyxPy.的的解解分分别别为为、由由于于证证明明21yy的解，的解，和和)2()1( ，)()()(1111xfyxQyxPy ，)()()(2222xfyxQyxPy 的解，的解，)()()(221122112211yCyCxQyCyCxPyCyC )()(11

3、11yxQyxPyC)()(2222yxQyxPyC )()(2211xfCxfC .)3(2211的的解解是是式式故故 yCyCy上上述述时时问问题题：当当,0)()(21 xfxf2211yCyCy 通通解解？答答：解解的的是是否否为为)2?()1(0)()( yxQyxPy)2.()1( 是是.不一定不一定)(广义叠加原理广义叠加原理定理定理分分别别是是方方程程、设设函函数数21yy)1()()()(1 xfyxQyxPy)2()()()(2 xfyxQyxPy是是方方程程为为任任意意常常数数则则),(212211CCyCyCy )3()()()()(2211 xfCxfCyxQyxPy

4、.的的解解的解，的解，上上述述时时问问题题：当当,0)()(21 xfxf2211yCyCy 131212211210yCyCCyyCyCyyy ）（时时，如如.所以不是通解所以不是通解只含有一个任意常数，只含有一个任意常数，,21要要满满足足什什么么条条件件那那么么yy才能是通解呢？才能是通解呢？2211yCyCy .清清是是不不是是通通解解只只能能说说一一定定是是解解，说说不不通通解解？答答：解解的的是是否否为为)2?()1(0)()( yxQyxPy)2.()1( 是是.不一定不一定)(广义叠加原理广义叠加原理定理定理分分别别是是方方程程、设设函函数数21yy)1()()()(1 xfy

5、xQyxPy)2()()()(2 xfyxQyxPy是是方方程程为为任任意意常常数数则则),(212211CCyCyCy )3()()()()(2211 xfCxfCyxQyxPy.的的解解的解，的解，,21要要满满足足什什么么条条件件那那么么yy才能是通解呢？才能是通解呢？2211yCyCy 但但的的解解是是,)0( )0(0)()( yxQyxPy则则的解的解是是设设,)0(,21 yy.不不一一定定是是通通解解2211yCyCy 性性无无关关的的概概念念：关关于于函函数数线线性性相相关关与与线线行行第第)10332(P个个函函数数，上上的的为为区区间间）（设设nIxyxyxyn)(, )

6、(,21的常数的常数不全为不全为如果如果0 0)()()(2211 xykxykxyknn.,否否则则称称它它们们线线性性无无关关上上线线性性相相关关个个函函数数在在区区间间则则称称这这In时时，恒恒有有使使得得当当Ixkkkn ,21)(广义叠加原理广义叠加原理定理定理分分别别是是方方程程、设设函函数数21yy)1()()()(1 xfyxQyxPy)2()()()(2 xfyxQyxPy是是方方程程为为任任意意常常数数则则),(212211CCyCyCy )3()()()()(2211 xfCxfCyxQyxPy.的的解解的解，的解，个个函函数数，上上的的为为区区间间）（设设nIxyxyx

7、yn)(, )(,21的常数的常数不全为不全为如果如果0 0)()()(2211 xykxykxyknn.,否否则则称称它它们们线线性性无无关关上上线线性性相相关关个个函函数数在在区区间间则则称称这这In时时，恒恒有有使使得得当当Ixkkkn ,21)0(0)()( yxQyxPy是是如如定理定理21,:)332(2yyP的的解解且且)0( (/21常常数数yy.)0(2211的通解的通解是是则则 yCyCy),21线线性性无无关关yy由广义叠加原理由广义叠加原理证证:,)0(2211的的解解是是 yCyCy,21线性无关线性无关又又yy.得得证证数数含含有有两两个个无无关关的的任任意意常常)

8、(广义叠加原理广义叠加原理定理定理分分别别是是方方程程、设设函函数数21yy)1()()()(1 xfyxQyxPy)2()()()(2 xfyxQyxPy是是方方程程为为任任意意常常数数则则),(212211CCyCyCy )3()()()()(2211 xfCxfCyxQyxPy.的的解解的解，的解，)0(0)()( yxQyxPy是是如如定理定理21,:)326(2yyP的的解解且且)0( (/21常常数数yy.)0(2211的通解的通解是是则则 yCyCy),21线线性性无无关关yy)0(0)()()()(1)2(2)1(1)( nyxPyxPyxPyxPynnnnn:)333(推推论

9、论P构）构）（齐次线性方程通解结（齐次线性方程通解结个线性无关的解，个线性无关的解，）的）的是齐次方程（是齐次方程（如果如果nnyyyn0,21 .)0(2211的的通通解解是是则则 nyCyCyCynn性无关的概念：性无关的概念：关于函数线性相关与线关于函数线性相关与线行行第第)10331(P个个函函数数，上上的的为为区区间间）（设设nIxyxyxyn)(, )(,21的常数的常数不全为不全为如果如果0 0)()()(2211 xykxykxyknn.,否否则则称称它它们们线线性性无无关关上上线线性性相相关关个个函函数数在在区区间间则则称称这这In时时，恒恒有有使使得得当当Ixkkkn ,2

10、1线线性性无无关关，不不恒恒为为常常数数，故故例例如如，由由于于xxxxcos,sincos/sin.cos,sin, 10cossin12222线线性性相相关关，可可知知又又由由xxxx )(广义叠加原理广义叠加原理定理定理分分别别是是方方程程、设设函函数数21yy)1()()()(1 xfyxQyxPy)2()()()(2 xfyxQyxPy是是方方程程为为任任意意常常数数则则),(212211CCyCyCy )3()()()()(2211 xfCxfCyxQyxPy.的的解解的解，的解，)0(0)()( yxQyxPy)()()()( xfyxQyxPy3)333(定定理理P)(构构非齐

11、次线性方程通解结非齐次线性方程通解结的的通通解解，是是齐齐次次方方程程如如果果)0( y的特解，的特解，是非齐次方程是非齐次方程)( *y.)(的通解的通解是非齐次方程是非齐次方程则则 *yyy非齐特解非齐特解齐次通解齐次通解解解此定理简称为：非齐通此定理简称为：非齐通 由广义叠加原理由广义叠加原理证证:,)(*的的解解是是 yyy.得得证证数数含含有有两两个个无无关关的的任任意意常常又又y补补充充推推论论：21, yy果果如如的解，的解，都是非齐次方程都是非齐次方程)( .)0(21的的解解齐齐次次方方程程是是则则 yyy)(广义叠加原理广义叠加原理定理定理分分别别是是方方程程、设设函函数数

12、21yy)1()()()(1 xfyxQyxPy)2()()()(2 xfyxQyxPy是是方方程程为为任任意意常常数数则则),(212211CCyCyCy )3()()()()(2211 xfCxfCyxQyxPy.的的解解的解，的解，（侠侠义义叠叠加加原原理理）定定理理4)334(P21, yy果果如如的的解解，和和分分别别是是方方程程)2()1( 是是则则21yyy .)()()()(21的的解解xfxfyxQyxPy ., 1:21得得证证令令广广义义叠叠加加原原理理中中的的证证 CC)0(0)()( yxQyxPy)()()()( xfyxQyxPy., 1:21得证得证令广义叠加原

13、理中的令广义叠加原理中的证证 CC10).4(1)(360. 3),8)(7(1337 下下面面作作业业：PP)(.)4(13531理理提提示示：每每一一步步都都要要用用定定的的结结论论：证证明明补补充充作作业业 P补补充充推推论论：21, yy果果如如都是非齐次方程的解，都是非齐次方程的解，.21齐齐次次方方程程的的解解是是则则yyy 11对二阶线性非齐次方程对二阶线性非齐次方程 )()()(xfyxQyxPy 情形情形1 1 )()(2211xyCxyCy 设设(3)的解为的解为 )()()()(2211xvxyxvxyy 由于有设了两个未知数由于有设了两个未知数, (3)(4)已知对应齐

14、次方程通解为已知对应齐次方程通解为 2211vyvyy 2211vyvy (v1(x), v2(x)待定待定)* *三、常数变易法三、常数变易法(P334)(P334)代入代入(3)后得到一个方程，后得到一个方程， 所以可以规定它们再满足一个方程所以可以规定它们再满足一个方程(P335第第3行行):2211vyvyy ,21vvy 中中不不含含为为使使令令02211 vyvy于是于是22112211vyvyvyvyy 将以上结果代入方程将以上结果代入方程 (3), 2211vyvy 1111)(vyQyPy )()(2222xfvyQyPy 得得)(2211xfvyvy (6)故故(5),(6

15、)的系数行列式的系数行列式, 02121 yyyyW y1, y2是对应是对应齐次方程的解齐次方程的解(5) 因因y1, y2线性无关线性无关,)3()()()(xfyxQyxPy 2211vyvyy 2211vyvy 00,1012221fyWyfyWv .112fyWv 2211vyvyy ”无无关关“0,21 Wyy:的证明的证明0 W否则否则 00212121kkyyyy解解的非的非有关于有关于0 021,kk02211 ykyk矛矛盾盾相相关关,21yyfyWvfyWv12211,1 积分积分, 得得 ,d121CxWfyv 代入代入(3)的解设中的解设中,2211yCyCy 结论结

16、论(P329-19(P329-19行行) ) )3()()()(xfyxQyxPy .d212CxWfyv 设设(3)的解为的解为 )()()()(2211xvxyxvxyy xWfyyd21 .d12xWfyy 即得即得非齐次方程的通解非齐次方程的通解;2211yCyCy 已知已知 的通解为的通解为 0)()( yxQyxPy)()()(xfyxQyxPy 则则 的通解为的通解为 .2121yyyyW 其中其中)(中中不不再再带带有有任任意意常常数数”“ ,e21xCxCY 例例0)1( yyxyx的通解为的通解为解解 1111 xyxyxxy已知齐次方程已知齐次方程.)1()1(2的的通通

17、解解求求 xyyxyx将所给方程化为将所给方程化为2211yCyCy 利用公式利用公式 xWfyyd21 .d12xWfyy ;2211yCyCy 已知已知 的通解为的通解为 0)()( yxQyxPy)()()(xfyxQyxPy 则则 的通解为的通解为 .2121yyyyW 其中其中,)(,)(21 yyxfxP本本题题1 xx1 xxxe )()(xxexex W,xxexe xdWfy2 xdexexexxx)1(, x xdWfy1xdexxxx )1()1( )(xedx dxexexx),1( xex)1(221 xxeCxCyx所求所求. 7338 P作作业业：2211yCyC

18、y 利用公式利用公式 xWfyyd21 .d12xWfyy ;2211yCyCy 已知已知 的通解为的通解为 0)()( yxQyxPy)()()(xfyxQyxPy 则则 的通解为的通解为 .2121yyyyW 其中其中).(22111是是其其通通解解故故无无关关的的另另一一解解是是该该方方程程与与yCyCyy 结论结论2(2(隐含于隐含于P336-P336-倒倒3 3行行) ) xdeyyyPdx 21121;1y已知已知 的非零解为的非零解为 )1(0)()( yxQyxPy则则 证明证明,)()(11uyxyxuy 令令代入代入 (1)并化简并化简, 得得 uyPyuy)2(111uy

19、QyPy)(111 0 uz 令令0)2(111 zyPyzy一阶线性方程一阶线性方程0 1111112,yuyuyuyyuyuyuyyCdxQeeyQPyyPdxPdxx 的的通通解解为为： 1C取取 dxPyyezu)2(11 uyyyeyPdx12211xdeyyPdx 2111)(刘维尔公式刘维尔公式. 5338 P作作业业：).(22111是是其其通通解解故故无无关关的的另另一一解解是是该该方方程程与与yCyCyy xdeyyyPdx 21121;1y已知已知 的非零解为的非零解为 )1(0)()( yxQyxPy则则 利用公式利用公式 )(刘维尔公式刘维尔公式18线性微分方程解的结

20、构线性微分方程解的结构四、小结四、小结线性微分方程的概念线性微分方程的概念常数变易法常数变易法19 思考题思考题xxyxyye3,3, 323221 已已知知66)22()2()2(22 xyxyxyxx都是微分方程都是微分方程:求此方程的求此方程的通解通解.的解的解,20证证齐次齐次方程的特解方程的特解.非齐次非齐次线性方程的两个特解之差线性方程的两个特解之差是对应是对应结论结论66)22()2()2(11212 xyxyxyxx)1(66)22()2()2(22222 xyxyxyxx)2(得得)2()1( )(2()(2(212212 yyxyyxx)(22(21yyx 0 所以所以21

21、yy 设设y1, y2是是非齐次非齐次线性方程的两个特解线性方程的两个特解, 则则是是齐次齐次方程的解方程的解.66)22()2()2(22 xyxyxyxx21方程的通解为方程的通解为3e221 xCxC yYy或或22213exCxCyx 或或.e3e2221xxxCxCy ,212xyy xyye23 xxe2xx e ,2因而因而,齐次齐次线性方程的通解线性方程的通解xCxCYe221 解解xxyxyye3,3, 323221 已已知知66)22()2()2(22 xyxyxyxx都是微分方程都是微分方程:求此方程的求此方程的通解通解.的解的解,常数常数 线性无关线性无关.所以所以,因为因为,