位图的放大处理算法.doc

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1、题 目 位图的放大处理算法 关 键 词 偏微分方程 插值 图像质量 MATLAB摘 要本文针对位图放大问题，建立在PM-MF上提出了一种新型放大图像的方法，并将其应用于位图放大，改善了放大位图的效果。新型的位图放大方法结合了P-M模型，添加了中值滤波，形成了PM-MF模型，在此模型的基础上创新提出了图像模糊的处理。得到了一个放大位图的算法，使得图像更为清晰，放大效果更好。本文通过MATLAB软件编程实现了三种经典模型：最近邻插值、双线性插值、双立方插值在放大位图上的处理，得到了P-M模型、PM-MF模型对放大位图的实现。而我们设计的新的位图处理方式也实现了位图放大处理。并通过了验证，新型的位图

2、放大方法在与三种经典插值方法的对比下有明显优势。Abstractthe new bitmap amplification method under compared with three classical interpolation method has obvious advantages. Bitmap amplification, the author of this paper, based on the PM - MF puts forward a new kind of magnification method, and applied to the bitmap amplifi

3、er, improved amplifies the effect of a bitmap. New bitmap amplification method combined with P - M model, add the median filtering, formed the PM - MF model, on the basis of this model innovation proposed the fuzzy image processing. Got a magnified the bitmap algorithm, makes the image more clear, a

4、mplification effect is better. Based on the MATLAB software programming to achieve the three classical model: the nearest neighbor interpolation, the bilinear interpolation and bicubic interpolation on the amplification bitmap processing, has realized the P - M model, PM - MF model to enlarge the bi

5、tmap handle. And we design the new way also implements the bitmap bitmap handle amplification processing. And he passed the test.目录目录一、 问题重述21.1知识背景.21.2问题的提出.2二、问题分析22.1将位图进行放大.22.2放大后的图像质量.2三、模型的假设2四、符号说明.3五、模型的建立与求解35.1线性算法分析.4最近邻插值.45.1.2双线性插值.55.1.3双立方插值.55.1.4线性偏微分方程算法分析.65.2非线性偏微分图像放大方法.75.3放

6、大图像中的阶梯和噪音处理.10 5.4放大图像边缘处理.12六、模型的检验126.1梯度模值.126.2 峰值信噪比和均方误差136.3灰度偏移.13七、模型的评价与推广14八、参考文献14九、附录15一、 问题重述1.1、知识背景图像放大是从一幅低分辨率图像获得其高分辨率版本的一种图像处理技术。一般是指针对光栅化的数字图像,通过某种算法确定未知像素的值,达到增加像素数目的目的。为适应特殊的应用场合或者得到一个较好的视觉效果,例如要突出某些细节,常常需要一种可以有效改变已有图像大小的方法,使图像放大和缩小后仍有较高的质量。 相对于缩小,图像放大的应用更加广泛和重要。例如,目前高端的显示设备越来

7、越普及,但是高分辨率的图像视频的生产远没有跟上显示设备的发展。如果我们想要得到把原来的图像的高和宽各放大一倍,那么像素数会增加三倍。对于放大后的图像,我们需要通过四分之一的已知像素确定另外四分之三的未知像素的值1。随着科学技术的发展，最近几年计算机技术发展迅速，将图像转化为数字图像即对于图像划分为一个矩阵块，对此要进行对图形放大即对图像做几何运算。目前传统的图像放大算法主要用插值算法；其中经典的插值算法有最近邻插值（Pixel replication）、双线性插值（Bilinear interpolation）、以及双立方插值（Bicubic interpolation），用它们来对图形、图像

8、进行放大2。线性插值算法的优点是算法思想简单容易实现,计算量相对较小。该类算法的缺点也比较明显,包括走样现象和计算速度等问題。在采样频率无法满足尼奎斯特-香农采样定理(Nyquist-Shannon sampling theorem)的情况下,插值重采样过程中会丢失高频部分,因而会产生图像失真走样的现象。最近邻插值会带来严重的块状走样现象,双线性插值算法会导致图像特别是边缘区域的模糊现象,三次的插值往往会导致Over/Under Shooting现象。另外,随着插值次数的提高,算法计算量会迅速增加1。1.2、问题的提出图像在计算机里主要有两种存储和表示方法。矢量图是使用点、直线或多边形等基于数

9、学方程的几何对象来描述图形，位图则使用像素来描述图像。而位图一旦放大后会产生较为明显的模糊，线条也会出现锯齿边缘等现象。位图在放大时，图像质量常会有所下降，如容易产生较为明显的模糊或马赛克等现象。建立合理的数学模型，来设计一个放大位图的算法，使图像在被放大后仍能尽量保持较好的图像质量。二、问题分析根据题目要求，我们考虑需要处理两个方面的问题：1、将位图进行放大：图像的放大即从一幅低分辨率的图像获得他的高分辨率版本的一种图像处理技术，其实质就是对一幅图像进行插值的过程。插值方法虽简单，易于实现，但是当图像中包含像素之间灰度级有变化的细微结构时，该方法会在图像中产生人工的痕迹，导致图像带有锯齿形的

10、边缘；双线性插值具有平滑作用，可能会使图像的细节产生退化，尤其是在进行放大处理时，会丢失重要的边缘特征信息。所以我们考虑可以通过偏微分方程的图像处理方法。将图像的像素看作是平面物体的温度，建立偏微分方程理论中的热传导数学模型。2、放大后的图像质量：在图像的放大过程中，像素点之间的距离增大，从而使图像变得模糊，且容易出现锯齿、阶梯现象以及噪音等问题。可以考虑在图像放大上进行优化处理，使图像达到较好的清晰度。三、模型假设1、根据题意，为了方便计算，我们假定图像的放大在一定范围内，不会无限放大。2、假设在计算放大图像的过程中，无外界因素影响图像的像素即图像的清晰度。四、符号说明横向放大倍数纵向放大倍

11、数热传导过程中的温度序列数散度算子图像的梯度放大后图像所占的平面区域非线性偏微分算法中的梯度值单调降特性的边缘停止函数网格点坐标的正数矢量以为中心的四邻点集合原始图像中值滤波处理后的图像将的中心移至的结构元素像素值图像像素放大图像权系数五、模型的建立与求解对于位图的放大，提高放大图像的质量是图像放大算法追求的主要目标。将图像的像素值看作是平面物体的温度；利用偏微分方程理论中的热传导数学模型，提出了一种基于热传导方程初边值问题的图像放大法。通过非线性偏微分方程的图像放大法可消除常规插值法带来的斑点和明暗区域偏移现象，以及线性偏微分方程放大图像时出现的锯齿现象，同时可保护边缘，从而达到较高的图像质

12、量3。5.1、线性算法分析线性偏微分方程和插值方法都可以是图像进行放大处理。插值是常用的数学运算，通常是利用曲线拟合的方法，通过离散的采样点建立一个连续函数逼近真实曲线，用这个重建的函数便可以求出任意的函数值。设该函数值为，则未知点x的函数值通过插值可以表示为：其中为插值函数，为权系数。插值算法的数值精度及计算量与插值核函数有关，插值核函数设计是插值算法的核心MATLAB图像工具箱提供了三种插值方法：最近邻插值、双线性插值和双立方插值。线性偏微分方程则是利用热传导原理对图像进行放大4。、最近邻插值4每一个插值输出像素的值就是在输入图像中与其最邻近的采样点的值。该算法的数序表示为： （1）最近邻

13、插值是工具箱函数默认使用的插值方法。不过，当图像含有精细内容，也就是高频分量时，这种方法实倍数现放大处理，在图像中可以明显看出块状效应。经最近邻插值法通过MATLAB编程（见附录1）处理得到下图（图1）：图1 （a）题中所述原图图1 (b)最近邻插值法放大图像对于最近邻插值法来说，输出像素的赋值为当前点的像素点，放大效果较差，但其运算简单2。5.1.2双线性插值4该方法输出像素值是它在输入图像邻域采样点的平均值，它根据某像素周围4个像素的灰度值在水平和垂直两个方向上对其插值。设是插值点的坐标，则双线性插值的公式为：把按上式计算的值赋予图像的几何变换对应的于的图像，即可实现双线性插值。通过编程（

14、见附录2）实现双线性插值处理后图像（图2）：图2 双线性插值法放大图像对于双线性插值法，输出像素的赋值为其周围4个像素点的值的加权平均，放大后图像的高频分量收到损失，图像的轮廓表的较模糊，运算比最近邻插值法复杂2。5.1.3双立方插值4该种插值类型为三次函数，其插值邻域的大小为值得。它的插值效果比较好，但相应的计算量较大。这三种插值的运算方式基本类似。对于每一种来说，为了确定插值像素点的数值，必须在输入图像中查找到与输出像素对应的点。这三种插值方法的区别在于其对像素点赋值的不同。u 最近邻插值输出像素的赋值为当前像素点。u 双线性插值输出像素的赋值为矩阵所包含的有效点的加权平均值。u 双立方插

15、值输出像素的赋值为矩阵所包含的有效点的加权平均值。u 最后通过MATLAB实现了双立方插值的放大图像（图3）（程序见附录3）：:图3 双立方插值放大图像对于双立方插值，输出像素的赋值为其周围16个像素点的值的加权平均，放大效果有一定的改善，但运算量较大。对于灰度变化平缓的图像区域，采用这几种常规的图像算法通常可以达到较好的效果，但插值算法对观测图像的线性操作不能拓展图像的有效频率带宽，不能很好的处理图像中剧烈跳变的局部特征2。故对于图像质量有较高要求的时候可以采用偏微分方程的算法。5.1.4、线性偏微分方程算法分析该算法利用热传导原理,将图像的灰度值视为平面物体的温度，根据图像放大的要求, 将

16、放大图像的灰度值看作由一些固定点提供热量的一个热传导过程，利用热传导过程的数学模型, 计算出各点处的灰度值, 从而实现图像放大的目的。建立数学模型如下：根据图像放大要求，放大后图像在点上的像素值应于原图像的点上的像素值保持一致3，即：，由平面物体热传导过程数学模型，其温度满足： （2）其中根据实际需要, 我们还可以认为在物体的边界上满足绝热条件： （3）尽管上述建立的线性模型具有很多的优越性，插值能够使图像放大，线性偏微分方程不会出现斑点和亮度偏移现象，但是应用于图像放大时可能会使边缘重要特征模糊，从而使图像的清晰度受到影响。因此为了消除线性偏微分方程产生的锯齿现象，我们又引入了非线性偏微分方

17、程的图像放大方法5。5.2、非线性偏微分方程图像放大方法为了在去噪的同时对图像的边缘进行保持，提出了各向异性扩散模型（即P-M模型），该模型中引入了扩散函数, 其作用是控制平滑的力度, 扩散速度由图像的梯度决定, 梯度大的区域扩散速度慢, 反之就快, 从而克服了常系数各向同性热传导平滑方程的缺点。即在重要边缘附近，使其传导系数变小，甚至接近于零；比较平坦的区域，使其传导系数变大，将微小的不规则起伏平滑滤除5。P-M方程： （4）由P-M方程引入图像放大： (5)其中是散度算子，是梯度，是单调降特性的边缘停止函数。P-M方程不仅能去噪，而且能保护边缘，甚至还能增强边缘，结合物体在边界上满足的绝热

18、条件： 利用P-M模型可实现图像放大。对于P-M模型图像放大处理，可以采用离散化方案，使其在网格的坐标中实现，具体如下： （6）式中下标是为网格点坐标的正数矢量，是以为中心的四邻点集合（如图4所示），其中：当较小时，即在平坦区域有自然的过渡，比较光滑；在靠近边缘处，由于足够大，边缘停止函数下降到几乎为零，扩散几乎停止，突出较强边缘。利用上述算法可以克服各向同性热传导平滑方程的缺点。图4 四邻点结构下面（图5）是非线性偏微分方程图像放大方法（P-M）的图像与原图对比：图5 原图通过P-M模型结合MATLAB软件编程（见附录4）分三步处理后最终得到放大后的图像（图6）：图6 （a）第一步P-M模型

19、处理后图像图 6 （b）第二步P-M模型处理后图像图6 （c）第三步P-M模型处理后图像图6 P-M模型处理后的放大图像由上述可以直观的看出由非线性偏微分方程模型得到的放大图像，由于图像还可能存在质量问题，故我们又进一步对模型进行处理。5.3、放大图像中的阶梯和噪音处理在将图像放大的过程中，还可能出现“阶梯”现象和噪音问题，这也可能导致视觉效果较差。将P-M模型和中值滤波结合起来，可以克服放大图像中可能出现的阶梯现象和噪音问题，称为PM-MF模型5。中值滤波方法：是把数字图像或数字序列中一点的值用该点的一个邻域中各点值的中值代替，让周围的像素值接近的真实值，从而消除孤立的噪声点。用某种结构的二

20、维滑动模板，将板内像素按照像素值的大小进行排序，生成单调上升（或下降）的为二维数据序列。二维中值滤波输出为： 其中，分别为原始图像和处理后的图像，为二维模版。为了方便计算对于二维图像通常取一个边长为奇数的矩形窗口，按照其方法将窗口沿着图像的行和列逐点滑动，这样图像在任意一个像素点处的滤波输出值就等于窗口中心移动到该点处时，窗口内所以像素点灰度值排序的中值。 （7）上式中表示将的中心移至的结构元素，表示像素数。结合中值滤波的图像处理方法通过编程（程序见附录5）可以得到如下图像（图7）：图7 （a）灰度图图7（b）PM-MF处理后的放大过程图像图7（b）为PM-MF处理后的放大过程图像，从图中可以

21、看出经放大后的图像较为清晰，图中的三幅图直观的表现出了PM-MF的放大过程。第三幅图较第一、第二幅图的清晰度更高一些，也就是我们通过模型得到的最终图像。5.4、新型位图放大处理方法将图像放大后，为了保证更好的图像质量，先利用双边滤波方法处理图像。双边滤波是一种非线性的滤波方法，是结合图像的空间邻近度和像素值相似度的一种折衷处理，同时考虑空域信息和灰度相似性，达到保边去噪的目的。双边滤波器中，输出像素的值依赖于邻域像素的值的加权组合：权重系数取决于定义域核:，和值域核:的乘积： (8)下图是通过双边滤波处理后放大图像：图8 双边滤波处理后的图像在通过滤波后再和PM-MF模型相结合，实现图像放大后

22、最大限度的图像复原，以下是通过双边滤波处理后的图像放入PM-MF模型处理：图9 新型放大图像处理的位图六、模型的检验对于以上我们所建立的图像放大模型，考虑到还有几种常见的插值方法可将图像进行放大处理。为了得到更好的位图放大模型，本文建立了从灰度偏移、信噪比、均方误差、梯度模值四个方面进行检验，最终得出我们上述模型的可行性5。6.1、梯度模值梯度反映了图像微小细节反差文理变化及清晰度。且梯度模值较大的放大效果越好，清晰度较高。梯度的计算公式： （9）其中 ， ，是图像的像素，是放大图像。 6.2、峰值信噪比和均方误差峰值信噪比 （10）均方误差 （11）其中表示像素数，分别表示放大图像和标准图像

23、在点的像素灰度值。6.3、灰度偏移放大后的图像或多或少地存在于原始图像对于位置灰度值存在差异，这种现象称为灰度偏移。可通过放大图像的灰度值曲线与原始图像灰度值曲线进行比较，便可以清楚的看出灰度偏移了多少，图像视觉效果好的，则起灰度偏移量小6。我们随机抽取放大图像的局部灰度值与原始图像对应的灰度值进行比较，获得放大前后图像灰度的偏移量(如下图10)。 图 10 （a） 放大图像部分灰度偏移比较图10 （b）图横坐标（50-100）纵坐标（100-160）灰度偏移比较通过上述梯度模值、灰度偏移、信噪比、均方误差四个方面的检验，以及和常见的几种插值算法的图像放大比较，我们可以得出本文建立的PM-MF

24、图像放大模型优于插值算法和线性偏微分方程图像的放大，具有一定的可行性。七、模型的评价与推广本文通过提出的偏微分方程使其图像放大，比较了线性和非线性的偏微分方程，以及和常见的几种插值法进行对比，得出本文建立的模型具有较好图像放大质量。其在平坦的区域有自然的过渡，比较光滑，在边界出有突变，边缘较清晰，不会出现明显得斑点、亮暗区域偏移等现象，且放大后的图像整体看起来清晰、明亮。但不足之处是给出的验证方法有效性仅给出了固定权重的局限性，在目前超声图像配准在医学上应用广泛，所以在以后我们还可以利用更多的超声图像序列来实现位图的放大质量，从而保证模型操作的正确性和有效性。八、参考文献1谢富续，数字图像放大

25、算法，2赵海峰、周永飞、黄子强，图像放大算法比较研究，现代电子技术，第24期：页码33-36，2010。3朱宁、吴静、王忠谦，图像放大的偏微分方程方法，计算机辅助设计与图形学学报，第17卷，第9期：1942-1943，2005。4秦襄培，MATLAB图像处理与界面编程，出版地：电子工业出版社，2009.3。5王蕾、祝轩、张申华，一种新的图像放大方法及其评价体系，计算机工程与应用，第46期：182-182,2010。6王蕾，基于偏微分方程的图像放大研究，学位论文，页码：45-46,2009。九、附录附录1 最近邻插值法：clc;w=2; h=2; img=imread(C:UsersasusDe

26、sktopwtr099.jpg); imshow(img);m n=size(img);imgn=zeros(h*m,w*n);rot=h 0 0;0 w 0;0 0 1; x=h*u,y=w*vinv_rot=inv(rot);for x=1:h*m for y=1:w*n pix=x y 1*inv_rot; imgn(x,y)=img(round(pix(1),round(pix(2); endendfigure,imshow(uint8(imgn)附录2 双线性插值法close all;clear all;clc;m=1.5; n=2; img=imread(C:UsersasusDe

27、sktopwtr099.jpg); imshow(img);h w=size(img);imgn=zeros(h*m,w*n);rot=m 0 0;0 n 0;0 0 1; for i=1:h*m for j=1:w*n pix=i j 1/rot; float_Y=pix(1)-floor(pix(1); float_X=pix(2)-floor(pix(2); if pix(1) h pix(1) = h; end if pix(2) w pix(2) =w; end pix_up_left=floor(pix(1) floor(pix(2); pix_up_right=floor(pix

28、(1) ceil(pix(2); pix_down_left=ceil(pix(1) floor(pix(2); pix_down_right=ceil(pix(1) ceil(pix(2); value_up_left=(1-float_X)*(1-float_Y); value_up_right=float_X*(1-float_Y); value_down_left=(1-float_X)*float_Y; value_down_right=float_X*float_Y; imgn(i,j)=value_up_left*img(pix_up_left(1),pix_up_left(2)

29、+ . value_up_right*img(pix_up_right(1),pix_up_right(2)+ . value_down_left*img(pix_down_left(1),pix_down_left(2)+ . value_down_right*img(pix_down_right(1),pix_down_right(2); endendfigure,imshow(uint8(imgn)functionre=bicubicInterpolate(p,x,y) arr=zeros(4,1); for i=1:4 arr(i)=cubicInterpolate(p(i,1:4),

30、x); end re= cubicInterpolate(arr,y);figure,imshow(uint8(imgn)附录3双立方插值I=imread(C:UsersasusDesktop111.tif); J=imresize(I,0.1); J2=imresize(J,10,bicubic); figure,imshow(I);figure,imshow(J2);附录4 P-M模型clear all;close all;clc;k=15; lambda=0.15; N=20; img=double(imread(C:UsersasusDesktopyuantu.jpg);imshow(

31、img,);m n=size(img);imgn=zeros(m,n);for i=1:N for p=2:m-1 for q=2:n-1 NI=img(p-1,q)-img(p,q); SI=img(p+1,q)-img(p,q); EI=img(p,q-1)-img(p,q); WI=img(p,q+1)-img(p,q); cN=exp(-NI2/(k*k); cS=exp(-SI2/(k*k); cE=exp(-EI2/(k*k); cW=exp(-WI2/(k*k); imgn(p,q)=img(p,q)+lambda*(cN*NI+cS*SI+cE*EI+cW*WI); end e

32、nd img=imgn; endfigure;imshow(imgn,);附录5 PM-MF模型clc;img=imread(C:UsersAdministratorDesktop111.tif);img=double(img);imshow(mat2gray(img);m n=size(img);imgn=zeros(m-3,n-3);temp=;for i=1:m-3 for j=1:n-3 temp=img(i:i+3,j:j+3); imgn(i,j)=median(temp(:); endendfigure,imshow(mat2gray(imgn)imgn=img(1:m-3,1:

33、n-3)-imgn;figure,imshow(mat2gray(imgn)imgn=imgn .* (imgn0);figure,imshow(mat2gray(abs(imgn)附录6 双边滤波clear all;close all;clc; img=imread(C:UsersasusDesktop111.tif);img=mat2gray(img);m n=size(img);imshow(img); r=10; imgn=zeros(m+2*r+1,n+2*r+1);imgn(r+1:m+r,r+1:n+r)=img;imgn(1:r,r+1:n+r)=img(1:r,1:n); i

34、mgn(1:m+r,n+r+1:n+2*r+1)=imgn(1:m+r,n:n+r); imgn(m+r+1:m+2*r+1,r+1:n+2*r+1)=imgn(m:m+r,r+1:n+2*r+1); imgn(1:m+2*r+1,1:r)=imgn(1:m+2*r+1,r+1:2*r); sigma_d=2;sigma_r=0.1;x,y = meshgrid(-r:r,-r:r);w1=exp(-(x.2+y.2)/(2*sigma_d2); h=waitbar(0,wait.);for i=r+1:m+r for j=r+1:n+r w2=exp(-(imgn(i-r:i+r,j-r:j+r)-imgn(i,j).2/(2*sigma_r2); w=w1.*w2; s=imgn(i-r:i+r,j-r:j+r).*w; imgn(i,j)=sum(sum(s)/sum(sum(w); end waitbar(i/m);endclose(h) figure;imshow(mat2gray(imgn(r+1:m+r,r+1:n+r);