武汉理工大学材料力学 4-5-6章 2013.ppt

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1、4-1 4-1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念(9)(9)4-2 4-2 梁的计算简图梁的计算简图 4-3 4-3 弯曲内力弯曲内力剪力和弯矩剪力和弯矩4-4 4-4 剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图4-5 4-5 荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用及其应用(10)(10)4-6 4-6 用叠加法作弯矩图用叠加法作弯矩图(11,(11,含刚架含刚架) )第四章第四章 弯曲内力弯曲内力一、弯曲变形一、弯曲变形梁梁( (beam)以弯曲变形为主的构件。以弯曲变形为主的构件。受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。受力特点：垂直于轴

2、线的横向力或轴线平面内的力偶。变形特点：原为直线的轴线变为曲线。变形特点：原为直线的轴线变为曲线。4-1 4-1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念(9)(9)对称轴对称轴平面弯曲：平面弯曲：当所有外力当所有外力( (或者外力的合力或者外力的合力) )作用于纵作用于纵向对称面内时，杆件的轴线在对称面内弯曲成一条向对称面内时，杆件的轴线在对称面内弯曲成一条平面曲线。平面曲线。 ( (此处称为此处称为“对称弯曲对称弯曲”更合理更合理）。）。Pmq杆件轴线杆件轴线纵向对称面纵向对称面一、构件本身的简化：通常取梁的轴线来代替梁。一、构件本身的简化：通常取梁的轴线来代替梁。二、载荷简化二、载荷简化计算简图：表

3、示杆件计算简图：表示杆件几何特征几何特征与与受力特征受力特征的力学模型。的力学模型。1. 集中力集中力(N，kN)Pq lim 0 xPqx 载荷集度载荷集度q：mm2. 集中力偶集中力偶(Nm，kN m)3. 分布载荷分布载荷(N/m，kN/m) 4-2 4-2 梁的计算简图梁的计算简图固定铰支座：固定铰支座：2 2个约束个约束可动铰支座：可动铰支座：1 1个约束个约束三、三、 支座简化支座简化固定端：固定端：3 3个约束个约束XAYAMAXAYAAAAAAAAYA四、静定梁的三种基本形式四、静定梁的三种基本形式简支梁简支梁(simple beam)悬臂梁悬臂梁(cantilever bea

4、m)静定梁：仅由静定梁：仅由静力平衡条件静力平衡条件可可唯一唯一确定梁的全部支反力确定梁的全部支反力和内力。和内力。外伸梁外伸梁(overhanging beam)计算方法：计算方法：截面法截面法例：求截面例：求截面1-1上的内力。上的内力。解：解：( (1)1)确定支反力确定支反力RA和和RB(2)(2)取左段梁为分离体：取左段梁为分离体：:0 yF01A SFFR1AFRFS :0 CM0)(A1 xRaxFM)(1AaxFxRM x1F1aABF2m1RARBxMFSC4-3 4-3 弯曲内力弯曲内力剪力和弯矩（剪力和弯矩（重点重点） F1RAMFSRBm内力的正负规定内力的正负规定:

5、剪力剪力FS: : 绕研究对象绕研究对象顺时针顺时针转为正；反之为负。转为正；反之为负。弯矩弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。或者说：使梁的为负弯矩。或者说：使梁上侧纤维受压，上侧纤维受压，下侧纤维受拉下侧纤维受拉为正。为正。 FS()FS()FS(+)FS(+)M(+)M(+)M()M()截面法计算剪力与弯矩举例（教材上的例子）梁上某截面剪力的梁上某截面剪力的简便算法简便算法口诀：口诀： 如取截面如取截面左左边的梁段为研究对象时，边的梁段为研究对象时， 剪力剪力=左侧梁上外力的代数和，求和时，向左侧梁上外力的代数和，求和时，向上上

6、的力取的力取正正，向下的力取负；，向下的力取负；（或者说：剪力（或者说：剪力=梁左边向上的力之和梁左边向上的力之和梁左边向下的梁左边向下的力之和）力之和） 如如 取截面取截面右右边的梁段为研究对象时则相反。边的梁段为研究对象时则相反。（结论（结论1）归纳为一个简单的口诀：）归纳为一个简单的口诀：左左上上右右下，下，剪力为剪力为正正。梁上某截面弯矩简便算法口诀：梁上某截面弯矩简便算法口诀： 如取截面左边的梁段为研究对象时，如取截面左边的梁段为研究对象时， 弯矩弯矩=左左侧梁上外力对侧梁上外力对截面中心截面中心的力矩之代数和。求的力矩之代数和。求和时，对和时，对截面中心为截面中心为顺顺时针的力矩取

7、为时针的力矩取为正正，对，对截面中心截面中心为逆为逆时针的力矩取为负；时针的力矩取为负；或者：或者：= 梁左边外力对梁左边外力对截面中心截面中心顺时针方向的力偶矩之顺时针方向的力偶矩之和和梁左边外力对截面中心逆时针方向的力偶矩之和梁左边外力对截面中心逆时针方向的力偶矩之和， 取截面取截面右右边的梁段为研究对象时则相反。边的梁段为研究对象时则相反。（结论（结论2）归纳为一个简单的口诀：）归纳为一个简单的口诀：左左顺顺右右逆逆，弯矩为弯矩为正正。 （结论（结论3 3）剪力（图）剪力（图）在集中力处有在集中力处有“突变突变”（即相邻两（即相邻两截面剪力不同）、截面剪力不同）、“突变突变”的高度等于集

8、中力的大小；的高度等于集中力的大小；弯矩（图）弯矩（图）在集中力偶处有在集中力偶处有“突变突变”（即相邻两截面弯即相邻两截面弯矩不同）、矩不同）、“ 、“突变突变”的高度等于集中力偶矩的大的高度等于集中力偶矩的大小。小。1. 1. 内力方程：内力方程：2. 2. 剪力图和弯矩图：剪力图和弯矩图：表示梁在各截面上剪力和弯矩表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形。的图形。剪力方程：剪力方程：FS= =FS（x）弯矩方程：弯矩方程：M= =M（x）xFS4-4 4-4 剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图xM RARBxFb /lFa /l-+M解解:(1):(1)计算支反力：计算支反

9、力：)( / /BA lFaRlFbR(2)(2)建立剪力、弯矩方程：建立剪力、弯矩方程：分分ACAC、CBCB两段考虑，以两段考虑，以A A为原点。为原点。 axlFbRxFS 0)(A axxlFbxRxM 0)(A(3)(3)绘制剪力图、弯矩图：绘制剪力图、弯矩图：ACAC段：段：RAxFS(x)M(x) lxalFaFRxFS A)(CBCB段：段： lxaxllFaaxFxRxM A)(ABFalbCRAxFS(x)M(x)FFab /l在集中力在集中力F作用点处，作用点处，FS图发生突图发生突变。变。FS列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程注意事项注意事项：（结论（结论4 4）

10、在集中力、集中力偶、分布力的起始点处（称）在集中力、集中力偶、分布力的起始点处（称为为控制面控制面）分段列剪力方程和弯矩方程；）分段列剪力方程和弯矩方程；剪力方程中剪力方程中x x在集中力处为开区，弯矩方程中在集中力处为开区，弯矩方程中x x在集中力偶处为开区，在集中力偶处为开区，在其它区间为闭区。在其它区间为闭区。 讨论 由剪力图可见，在梁上 的集中力(包括集中荷载和约 束力)作用处剪力图有突变， 这是由于集中力实际上是将 作用在梁上很短长度x范围内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在x范围内是均匀的(图a),则剪力图在x范围内是连续变化的斜直线(图b)。从而也就可知，要问集中力作用处梁的

11、横截面上的剪要问集中力作用处梁的横截面上的剪力值是没有意义的。力值是没有意义的。 作业作业1： 要求：要求：重点掌握口诀计算和内力图；其重点掌握口诀计算和内力图；其中选中选12个小题用截面法，作受力图，列个小题用截面法，作受力图，列方程求解，熟悉这一经典做法。方程求解，熟悉这一经典做法。 4-1 b f h 4-2 a 用列内力方程的方法来作梁和刚架的内用列内力方程的方法来作梁和刚架的内力图比较复杂，有没有更好的办法？力图比较复杂，有没有更好的办法？对对dx 段进行平衡分析：段进行平衡分析： 0)(d)(d)()(:0S xFxFxxqxFFSSy)(dd)(xFxxqS dxxq(x)q(x

12、)FS(x)+dFS(x)M(x)+d M(x)FS(x)M(x)dxy xqxxF ddS剪力图上某点处的切线斜率剪力图上某点处的切线斜率等于该点处的荷载集度。等于该点处的荷载集度。4-5 4-5 荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系（荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系（1010）FS(x)+dFS(x)FS(x)dxAyM(x)+d M(x)M(x) xqxxF ddS0)(d)()(d(21)()d( : 02S xMxMxxqxMxxFMA)(d)(dxFxxMS 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。)(d)(d22xqxxM q(x)

13、外力外力无分布力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0QQ5 梁，剪力梁，剪力FS的影响很小，可推广的影响很小，可推广使用纯弯曲梁的正应力公式。使用纯弯曲梁的正应力公式。横力弯曲：平面假设和单向受力假设不再成立。横力弯曲：平面假设和单向受力假设不再成立。梁的横截面不对称于梁的横截面不对称于 z 轴轴( (中性轴中性轴) )： y1y2yzzIyM1max zIyM2max M max max kNm5 .678/2max qlMkNm60)22(121 xqxqlxM例例5-1 受均布载荷作用的简支梁如图，试求：受均布载荷作用的简支梁如图，试求：（1）1-1截面上截面上1、2两点的正应力；两

14、点的正应力；（2）1-1截面上的最大正应力；截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；）全梁的最大正应力；（4）已知）已知E=200GPa，求，求1-1截面的曲率半径。截面的曲率半径。解：解：画画M图：图：1120180302q=60 kN/m1m2m11BA1 112012018018030302 2yz2020ql2/ 8M4533m10832. 5 1218. 012. 012 bhIzMPa7 .6110832. 560605111 zIyM 求应力求应力M1Mmax1120180302q=60 kN/m1m2m11BA342m1048. 66 bhWzMPa6 .921048. 6

15、6071max1 zWM MPa2 .1041048. 65 .677maxmax zWM m4 .194 1060832. 520011 MEIz 求曲率半径求曲率半径1 112012018018030302 2yz2020MPa7210832. 570605212 zIyM 67.560(kNm)M 例例5-25-2 钢板尺厚钢板尺厚0.8mm，长，长252mm，弹性模量，弹性模量E=200GPa。求当钢板尺弯成。求当钢板尺弯成 / /3圆弧时，钢板尺内的圆弧时，钢板尺内的最大正应力。最大正应力。 3/ s解：解：sEyEy3maxmaxmax 3 s s3 MPa4 .332 10252

16、3104 . 0102 3311 例例5-3, 5-3, 教材例题教材例题5-25-2如如图所示圆轴，在图所示圆轴，在A A、B B两处两处的轴承可简化为铰支座，的轴承可简化为铰支座，轴的外伸部分是空心圆轴。轴的外伸部分是空心圆轴。试求轴内的最大正应力。试求轴内的最大正应力。 解：解：(1)(1)由弯矩图判断危险截面由弯矩图判断危险截面 RA=2.93kN; RB=5.07kN 向上向上(2)(2)计算抗弯截面模量计算抗弯截面模量 实心圆轴实心圆轴Wz ： 危险截面可能在危险截面可能在C C、B B截面截面ABC5kN3kN40030010006043333cm 2 .2132632 DWz3

17、4343cm 6 .1560431326132 DdDWz空心圆轴空心圆轴Wz：-+0.90kNm1.17kNmMRARB(3)(3)计算最大正应力计算最大正应力 C截面的最大正应力：截面的最大正应力： B截面的最大正应力：截面的最大正应力： 轴的最大正应力发生在轴的最大正应力发生在B截面处，其值为截面处，其值为57.7MPa。ABC5KN3KN40030010006043 MPa 2 .55 102 .211017. 163CCmax zWM MPa 7 .57 106 .159006BBmax zWM 最大弯曲正应力不一定发生在弯矩最大的截面上。最大弯曲正应力不一定发生在弯矩最大的截面上。

18、 RARB-+0.90kNm1.17kNmM zWMmaxmax若若 则则 max设材料的弯曲许用正应力为设材料的弯曲许用正应力为 （近似取轴向拉压的（近似取轴向拉压的许用应力）许用应力） 强度校核强度校核: : maxmax zWMzWMmax 载荷设计载荷设计: : 截面设计截面设计: : max MWz 5-3 5-3 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件若若则则 max max且且 例例5-4,教材教材 T形截面铸铁梁，许用拉应力形截面铸铁梁，许用拉应力 +=30MPa，许用压应力为许用压应力为 -=60MPa。已知中性轴位置。已知中性轴位置 y1=52mm，截面对截面对z轴的惯性矩轴

19、的惯性矩 Iz764cm4。试校核梁的强度。并说。试校核梁的强度。并说明明T字梁怎样放置更合理？字梁怎样放置更合理？ RA2.5 kN RB 10.5 kN 向上向上危险截面可能在危险截面可能在B B 、 C C截面。截面。ABC9kN4kN1m1m1mzy1y8012020y220RARB解：解：(1) (1) 绘制弯矩图绘制弯矩图-+4kNm2.5kNmM4kNm(2)(2)强度校核强度校核 校核校核B B：MPa 2 .27 )1BBmax zIyM （MPa 1 .46 )2BBmax zIyM （校核校核C C： MPa 8 .28 )2CCmax zIyM （ MPa 8 .28)

20、)(Cmaxmax -BmaxmaxMPa 1 .46)()( 故满足强度条件。故满足强度条件。 (3) (3) T形梁正放合理形梁正放合理Mx2.5kNm-4k N mA1A2y 2y 1C CzA3A4A3A4A A1 1A A2 2( () )-+4kNm2.5kNmMBC。，。求许用荷载许用剪应力，销钉的，杠杆的许用正应力销钉直径处用销钉与支座连接，在制动杠杆，矩形截面。例21MPa98MPa137mm30 55FFdB kN44. 11375 .1011maxmax zzzWFWFWM60ACB10002502030601F2FACB1F2F21FF 25. 0121 FF解解：(

21、1)(1)杠杆设计：杠杆设计：369333333m105 .1010606)3060(20 6)(2/ )(12 hdhbhdhbWZ124 :0FFMB kN85.135983045521121 AFAFAFF(2)(2)销钉设计：销钉设计：kN76. 5kN44. 121 FF、取取60ACB10002502030601F2FACB1F2F21FF 25. 0121 FF伸长。图示。求梁下边缘的总简支梁的荷载、尺寸如例 65Ex hb2ql2qlxql 2222)(3622bhxlxqhbxqxqlWxM xlxxd)(dd 微微段段伸伸长长量量为为EbhqlEbhxxlxqxllllxl

22、230222d)(3dd 总总伸伸长长：截截面面下下边边缘缘的的正正应应力力解解： x本章作业1 5-8； 5-17；5-21zxbhy一、矩形截面梁的弯曲剪应力一、矩形截面梁的弯曲剪应力 1 1弯曲剪应力分布假设弯曲剪应力分布假设 (1) (1) 方向均与剪力方向均与剪力FS的方向平行的方向平行 (2) (2) 沿矩形截面的宽度均匀分布沿矩形截面的宽度均匀分布FSdd1yxdxmmnn2 2弯曲剪应力公式的推导弯曲剪应力公式的推导 mmnnzyMM+dM5-4 5-4 弯曲剪应力弯曲剪应力FSFSmmnndx 为距中性轴为为距中性轴为y 的的dd1横线横线以下以下的面积对中的面积对中性轴性轴

23、 z 的静矩。的静矩。zymmnm1n1n1MM+dMhbndd1ycAd dcdxd11cmndcd11cmnn1TN2N1 1d 2AAN 1d d1AzAIyMM 1d d1AzAyIMM zzSIMMd 1d 1AzAySdc dx zzSIMMNd2dcd11cmnn1TN2N1 zzSIMN1xbTd :0 xF012 TNN0d xbSIMSIdMMzzzz bISxMzz dd bISFzzS bISFzzS 剪应力互等定理：剪应力互等定理：b 所求剪应力处横截面的宽度；所求剪应力处横截面的宽度；Sz* *为距中性轴为为距中性轴为y 的横线的横线以下以下的面积对中性轴的面积对中

24、性轴 z 的的静矩。静矩。dxbh/2bh/2zyy3 3剪应力沿截面高度的变化规律剪应力沿截面高度的变化规律 y = =0，中性轴上，中性轴上 ：22*()()()24224zhhyb hSbyy 2242yhIFzS:2hy 0 AFbhFSS2323max max bISFzzS 二、圆形截面梁的弯曲剪应力二、圆形截面梁的弯曲剪应力(1) ab 弦上各点的剪应力都汇交于弦上各点的剪应力都汇交于D点；点；(2) ab 弦上各点剪应力的垂直分量弦上各点剪应力的垂直分量y 为常量为常量1 1弯曲剪应力分布假设弯曲剪应力分布假设 FSRzyODabcbISFzzSy 222yRb 即即为为 ab

25、 弦的长度；弦的长度； Sz*为为 ab 弦以弦以下下的面积对中性轴的面积对中性轴 z 的静矩。的静矩。 23221212132d2yRyyRySRyz 3 22zSyIyRF y =0： AFRFSSy34342max max yzOaby三、薄壁截面梁的弯曲剪应力三、薄壁截面梁的弯曲剪应力弯曲剪应力分布的假设：弯曲剪应力分布的假设： (1) (1) 剪应力与截面的周边相切，剪应力与截面的周边相切，(2) (2) 剪应力沿壁厚为常量。剪应力沿壁厚为常量。 薄壁截面的中线：截面各处壁厚中点的连线。薄壁截面的中线：截面各处壁厚中点的连线。QQQ 1. 1. 工字形截面工字形截面 (1)(1)腹板

26、部分的切应力腹板部分的切应力 腹板：承担腹板：承担大部分大部分剪力剪力，且切应力接，且切应力接近于近于均匀分布均匀分布。 (2)(2)翼缘上的切应力：很小，不计。承担翼缘上的切应力：很小，不计。承担大部分弯矩。大部分弯矩。切应力流：切应力流：剪应力顺着一个转向流动剪应力顺着一个转向流动( (先确定腹板切应力先确定腹板切应力) )。 zyOhybb0h0bISFzzS 2200202428yhbhhbSz:2hy bbhhbIbFzS02020max1 8 :0 y 2020min 8 hhbIbFzS min max 2. 薄壁圆环薄壁圆环FS max max AFS2max bISFzz*S

27、Smax32FA矩形截面*,maxS,maxmax*,maxszzzzF SFI dIdS工字钢截面梁横截面上的切应力计算公式小结梁横截面上的切应力计算公式小结*S,maxmaxzzF SI bSmax2FA薄壁圆筒：Smax43FA圆形截面：等截面杆：剪应力的最大值总是发在横截面的等截面杆：剪应力的最大值总是发在横截面的中性轴中性轴上上 max maxmax bISFzzSSz max* *为中性轴以下的面积对中性轴的静矩。为中性轴以下的面积对中性轴的静矩。 梁的跨度较短，梁的跨度较短，M 较小，而较小，而FS 较大时；较大时； 腹板厚度较小的薄腹截面梁；腹板厚度较小的薄腹截面梁； 铆接或焊

28、接的组合截面梁。铆接或焊接的组合截面梁。需要校核剪应力的几种特殊情况：需要校核剪应力的几种特殊情况：5-5 5-5 梁的剪应力强度校核梁的剪应力强度校核解：解：画内力图画内力图q= 3.6kN/mL= 3mABN54002336002max qLFSNm4050833600822max qLM120120180180例例5-7矩形截面木梁，矩形截面木梁， =7MPa， =0.9MPa，试求，试求最大最大正应力和最大剪应力之比正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。并校核梁的强度。qL 2/8MqL /2qL /2-+FS求最大应力求最大应力并校核强度并校核强度应力之比应力之比7 .1632ma

29、xmaxmax hLFAWMSz 22maxmaxmax18. 012. 0405066 bhMWMz MPaMPa 725.6 MPaMPa9. 0375. 0q= 3.6kN/mL= 3mAB1201201801804050NmM5400N5400N-+FS18. 012. 054005 . 123maxmax bhFS 。，设计截面尺寸，许用剪应力，许用正应力简支梁如图所示，已知例bhbhMPa1MPa125 . 1 858kN2m2mbhzM8kNm 625. 263max2maxmaxbMbhM mm121101225.2108625.26625.26max363332max Mbb

30、hbWWMzz解解：正正应应力力强强度度条条件件 22max5 . 15 . 15 . 1bFbFAFSSS mm182mm121 mm2.631011045.15.15.16322max hbFbbQbQAQS，剪剪应应力力强强度度条条件件 mm182mm121 mm2.631011045.15.15.16322max hbQbbQbQAQ，剪剪应应力力强强度度条条件件 解解：(1)正应力强度条件正应力强度条件(2)剪应力强度条件剪应力强度条件4kN+-FS4kN 教材例题 5.6 注意思路:先按正应力强度条件选择材料型号,再校核切应力 。的最大荷载强度确定梁所能承受，试按胶合缝的剪应力许剪

31、应力缝的容而成，尺寸如图。胶合简支梁由三块木板胶合例Pa MP5 . 0 95)(bx)(cx bhPbhbhhbPbISFzzS32 123323 kN1 . 8 25 . 012090323 bhPx404040404040b=90hPll+-FSP/2P/2解：解：思考题思考题? ? 某空心矩形截面梁，分别按图a及图b两种方式由四块木板胶合而成。试求在横力弯曲时每一胶合方式下胶合缝上的切应力。梁的横截面上剪力FS已知。解：解：图a所示胶合方式下，由图可知：zzIhbFIhbF4222SSbdx*1NF*2NF(c) 图b所示胶合方式下，由图可知：（参考工字钢翼缘的切应力分析,主要分析下板

32、水平方向的切应力,与胶合面强度有关）zzIhbFIhbF422222SSb- -2dx*1NF*2NF(d)Sd(2 )dFx*SddzzSIMF *Sdd(2 )2zzzzF SSMxII 图b所示胶合方式较好 本章作业本章作业2 5-24；5-28；5-34一、选择和设计合理截面（表一、选择和设计合理截面（表6-26-2）弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件：对于同种材料对于同种材料Wz，1.1.根据截面的几何性质选择合理的截面形状根据截面的几何性质选择合理的截面形状则可承受的则可承受的M梁的承载能力提高。梁的承载能力提高。选择选择W/A较大的截面较大的截面5-7 5-7 提高弯曲强度的

33、措施提高弯曲强度的措施maxmax zWM (1)(1)塑性材料塑性材料: : 宜选宜选对中性轴对称对中性轴对称的截面形状的截面形状2. 2. 根据材料的特性选择截面形状根据材料的特性选择截面形状且使离中性轴较远的边缘放在受压侧且使离中性轴较远的边缘放在受压侧宜选以宜选以对中性轴非对称对中性轴非对称的截面形状的截面形状y1y2 2 max max maxmax 二、改善梁的受力情况二、改善梁的受力情况 1. 1. 合理安排梁的约束，减小梁跨。合理安排梁的约束，减小梁跨。8/2qlq qlq0.6l0.2l0.2l40/2ql50/2ql50/2qlM为什么是为什么是0.2L?0.2L?习题习题

34、5-345-342max125. 00qlMMaC时当2max0214. 0207. 0qlMMMlaCB时当 为什么？为什么？ 2. 2. 改变加载方式，尽量使荷载分散或靠近支座。改变加载方式，尽量使荷载分散或靠近支座。Fl/2l/2Fl/4l/4l/4l/44/FlM8/Fl三、采用变截面梁或等强度梁三、采用变截面梁或等强度梁 等强度梁：等强度梁：x)()(max xWxMFl/2l/24/Flzy b(x) h b(x)一、选择题一、选择题1、梁发生平面弯曲时，其横截面绕（、梁发生平面弯曲时，其横截面绕（ ）旋转。）旋转。A、梁的轴线；、梁的轴线； B、截面对称轴；、截面对称轴；C、中性

35、轴；、中性轴； D、截面形心。、截面形心。 2、几何形状完全相同的两根梁，一根为铝材，一根、几何形状完全相同的两根梁，一根为铝材，一根为钢材。若两根梁受力状态也相同，则它们的为钢材。若两根梁受力状态也相同，则它们的 。（A）弯曲应力相同，轴线曲率不同。）弯曲应力相同，轴线曲率不同。 （B）弯曲应力不同，轴线曲率相同。）弯曲应力不同，轴线曲率相同。（C）弯曲应力和轴线曲率均相同。）弯曲应力和轴线曲率均相同。 （D）弯曲应力和轴线曲率均不同。）弯曲应力和轴线曲率均不同。 CA 本本 章章 习习 题题3、在由不同材料组合而成的梁的截面上，其交界处、在由不同材料组合而成的梁的截面上，其交界处的（的（

36、已知平面假设成立。）。已知平面假设成立。(A)应力分布连续，应变不连续；应力分布连续，应变不连续；(B) 应力分布不连续，应变连续；应力分布不连续，应变连续；(C) 应力和应变分布均不连续；应力和应变分布均不连续； (D) 应力和应变分不均连续。应力和应变分不均连续。 4、当横向力作用于杆件的纵向对称面内时，关于杆、当横向力作用于杆件的纵向对称面内时，关于杆件横截面上的内力与应力有以下四个结论。其中件横截面上的内力与应力有以下四个结论。其中 错误的是错误的是 。（A）若有弯矩）若有弯矩M，则必有正应力，则必有正应力 。 （B）若有正应力）若有正应力 ，则必有弯矩，则必有弯矩M 。（C）若有

37、弯矩）若有弯矩M，则必有剪应力，则必有剪应力 。 （D）若有剪力）若有剪力FS，则必有剪应力，则必有剪应力 。 BB5、梁在横向力作用下发生平面弯曲时，横截面上最、梁在横向力作用下发生平面弯曲时，横截面上最大正应力点和最大剪应力点的应力情况是（大正应力点和最大剪应力点的应力情况是（ ）。）。A、最大正应力点的剪应力一定为零，最大剪应力点、最大正应力点的剪应力一定为零，最大剪应力点的正应力不一定为零；的正应力不一定为零；B、最大正应力点的剪应力一定为零，最大剪应力点、最大正应力点的剪应力一定为零，最大剪应力点的正应力也一定为零；的正应力也一定为零；C、最大剪应力点的正应力一定为零，最大正应力点、

38、最大剪应力点的正应力一定为零，最大正应力点的剪应力不定为零；的剪应力不定为零；D、最大正应力点的剪应力和最大剪应力点的正应力、最大正应力点的剪应力和最大剪应力点的正应力都不一定为零都不一定为零。 (注意不规则截面）注意不规则截面）D6、等强度梁的截面尺寸、等强度梁的截面尺寸 。（A）与载荷和许用应力均无关。）与载荷和许用应力均无关。（B）与载荷无关，而与许用应力有关。）与载荷无关，而与许用应力有关。（C）与载荷和许用应力均有关。）与载荷和许用应力均有关。（D）与载荷有关，而与许用应力无关。）与载荷有关，而与许用应力无关。 7、在厂房建筑中使用的、在厂房建筑中使用的“鱼腹梁鱼腹梁”实质上是根据简

39、实质上是根据简支梁上支梁上 而设计的等强度梁。而设计的等强度梁。（A）受力集中，截面宽度不变。）受力集中，截面宽度不变。（B）受力集中，截面高度不变。）受力集中，截面高度不变。（C）受均布载荷，截面宽度不变。）受均布载荷，截面宽度不变。（D）受均布载荷，截面高度不变。）受均布载荷，截面高度不变。 CC二、计算题二、计算题 1、两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，、两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比两者许可载荷之比 F1F2？F F1 F2 b b h h z z 解解：（：（1）

40、竖放时：）竖放时：62111max1maxbhlFWMz 62222max2maxhblFWMz :2max1max得得由由 bhFF 21（2）横放时：）横放时：F F1 F2 b b h h z z 2、主梁、主梁AB，跨度为，跨度为l，采用加副梁，采用加副梁CD的方法提高承的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度则副梁的最佳长度a为多少？为多少？l/2l/2a/2a/2FABCD解：解：4)(4aFalF CDABMMmaxmax 2la F/2F/2F(l-a)/4ABFPa/4CD zWMmaxmax3、图示

41、三种截面梁，材质、截面内、图示三种截面梁，材质、截面内Mmax、 max全相全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。daab2b解：解：zWMmaxmax 321 zzzWWW 3266)2(332dabb 12. 1:1:794. 04:2:222221 dabAAA adab193. 16300. 0A1A2A3故矩形截面最经济。故矩形截面最经济。4、简支梁、简支梁AB，在截面下边缘贴一应变片，测得其，在截面下边缘贴一应变片，测得其应变应变 =610-4，材料的弹性模量，材料的弹性模量 E=200GPa，求，求载荷载荷P的大小。的大小。204

42、00.5m0.4m0.1m1mFM0.24F0.2F解：解：zzCCWFWME2 . 0 kN2 . 362 . 040201062002 . 024 zWEF 5、我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是、我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。dhb解：解：222dhb 62bhWz 6)(22bdb 02622 bdbWz 3db dbdh3222 2 dh zWMmaxmax 本章作业本章作业3 5-26；5-356

43、2 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程6.3 6.3 用积分法求挠度和转角用积分法求挠度和转角6.4 6.4 用叠加法求挠度和转角用叠加法求挠度和转角第第6 6章章 弯曲变形弯曲变形 6.5 6.5 梁的刚度计算梁的刚度计算6.1 6.1 概述概述6.6 6.6 简单超静定梁简单超静定梁6.7 6.7 梁的弯曲应变能梁的弯曲应变能6.8 6.8 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施6-1 6-1 概述概述 若变形过大，会引起较大的振动，破坏起吊工若变形过大，会引起较大的振动，破坏起吊工作的平稳性。作的平稳性。一、工程中的弯曲变形问题一、工程中的弯曲变形问题若变形过大，不若变形过大，不仅会影

44、响齿轮的仅会影响齿轮的啮合和轴承的配啮合和轴承的配合，使传动不平合，使传动不平稳，磨损加快，稳，磨损加快，而且还会严重地而且还会严重地影响加工精度。影响加工精度。 又如，又如，车床主轴：车床主轴： 又如，又如，如图所示轮轴：如图所示轮轴： 若轮轴的变形过大，会使轮子不能正常啮合，影响工若轮轴的变形过大，会使轮子不能正常啮合，影响工作的平稳性等。作的平稳性等。 但有时又有但有时又有相反要求相反要求，要求构件有适当变形，才能，要求构件有适当变形，才能符合使用要求。符合使用要求。如如汽车叠板弹簧汽车叠板弹簧，要求产生较大变形，才能在车辆，要求产生较大变形，才能在车辆行驶时发挥缓冲减振作用符合使用要求

45、行驶时发挥缓冲减振作用符合使用要求。此外，弯曲变形的计算还经常应用于超静定系统的此外，弯曲变形的计算还经常应用于超静定系统的求解。求解。二、弯曲变形的量度挠度和转角二、弯曲变形的量度挠度和转角FAB 原为直线的轴线原为直线的轴线AB弯曲弯曲成成光滑而连续光滑而连续的曲线，的曲线， 该曲线称为该梁的该曲线称为该梁的挠曲线挠曲线。 在平面弯曲的情况下，挠曲线是位于载荷平面内的在平面弯曲的情况下，挠曲线是位于载荷平面内的平面曲线。平面曲线。 xw xfw FABwx挠曲线方程：挠曲线方程：CC 取梁的左端点为坐标原点取梁的左端点为坐标原点, 梁变形前的轴线为梁变形前的轴线为x轴轴, 横截面的铅垂对

46、称轴为横截面的铅垂对称轴为w轴轴, xw平面为纵向对称平面。平面为纵向对称平面。 挠度挠度(w): 横截面形心横截面形心(即轴线上的点即轴线上的点)在垂直于在垂直于x轴方轴方向的线位移向的线位移, 称为该截面的称为该截面的挠度挠度(Deflection) 。 转角转角( ): 横截面绕中性轴横截面绕中性轴(即即Z轴轴)转过的角度（或角位转过的角度（或角位移）移）, 称为该截面的称为该截面的转角转角(Slope rotation angle) 。度量梁变形后横截面度量梁变形后横截面位移位移的两个基本量的两个基本量:挠度和转角挠度和转角 在图示坐标系中，挠度w向上为正，向下为负； 逆时针转向的转角

47、为正，顺时针转向的转角为负。挠度和转角符号的规定：挠度和转角符号的规定：必须注意必须注意: : 梁轴线弯曲成曲线后梁轴线弯曲成曲线后, , 在在x x轴方轴方向也有线位移。向也有线位移。但在但在小变形情况小变形情况下下, , 梁的挠度远小于跨长梁的挠度远小于跨长, , 横截面形心沿横截面形心沿x x轴方向的线位移与挠度相比属轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量于高阶微量, , 可略去不计可略去不计。 xfwtan 挠度与转角的关系：挠度与转角的关系： xw FABwxCCEIxMx)()(1xwO23222dd1dd)(1xwxwx22ddxwEIxMxw)(dd 220M0 w0M0 w6.

48、2 6.2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程EIM1纯弯曲梁纯弯曲梁横力弯曲梁（近似）横力弯曲梁（近似）任意曲线曲率任意曲线曲率)(xMwEI 或或EIxMxw)(dd22则有则有此式称为此式称为 梁的挠曲线近似微分方程。梁的挠曲线近似微分方程。(Approximately differential equation of the deflection curve)称为称为近似近似的原因的原因: (1) 略去了剪力的影响略去了剪力的影响; (2)略略去了去了w2项。项。 M xwEI CxxMEIwd)( 转角方程转角方程DCxxxxMEIw d d)( 挠度方程挠度方程C、D 为积分

49、常数；由为积分常数；由边界条件边界条件和和连续性条件连续性条件确定。确定。EIxMwxw)(dd22 6-3 6-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形)(xMwEI EI为常量为常量EI为常量为常量简支梁简支梁悬臂梁悬臂梁边界条件边界条件(boundary condition)ABwA0wB0ABwA0 A0ABAB 连续性条件连续性条件(Continuity condition)在挠曲线的任一点上在挠曲线的任一点上, 有有唯一的挠度和转角。如唯一的挠度和转角。如:不可能不可能CCww CC c弯曲变形的对称点：弯曲变形的对称点：0 0lABq 例例6-3-1 用积分法求挠度方程和转角方程

50、并确定绝对用积分法求挠度方程和转角方程，并确定绝对值最大的转角和最大的挠度。设值最大的转角和最大的挠度。设EIEI为常量。为常量。解解：(1) (1) 求支反力，列求支反力，列弯矩方程弯矩方程(2) (2) 建立挠曲线近似微分方程，并积分建立挠曲线近似微分方程，并积分DCxxqxqlEIw4324- 12(3) (3) 利用利用边界条件边界条件确定积分常数确定积分常数0 :0wx0 D0 :wlx24 3qlCxwlxxqxqlxM0 22)(2lxxqxqlwEI 0 222,6432CxqxqlwEIxqlRRBA21 由对称性知由对称性知RBRA3234624xlxlEIqw32322