高数1-3无穷小无穷大与极限运算法则.ppt

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1、一、无穷小与无穷大一、无穷小与无穷大 1、概念、概念 2、性质、性质二、极限运算法则二、极限运算法则 1、四则运算、四则运算 2、复合运算、复合运算三、无穷小的比较三、无穷小的比较 1、无穷小的阶及等价无穷小、无穷小的阶及等价无穷小 2、无穷小的等价代换准则、无穷小的等价代换准则 第一章 二、二、 无穷大无穷大 三三 、无穷小与无穷大的关系、无穷小与无穷大的关系 一、一、 无穷小无穷小 第四节第四节无穷小与无穷大无穷小与无穷大一、一、 无穷小无穷小定义定义1.1.若若0 xx时时, ,函数函数,0)(xf则称函数则称函数)(xf0 xx )x(或为为时的时的无穷小无穷小 . .)x(或0lim

2、 )0,xxxf x 若若则称函数则称函数 f (x) 为为xx0 时时的无穷小。无穷小。(或 )x例如例如 : :,0)1(lim1xx, 01lim xx, 011limxx说明说明: : 除0以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为0)(lim0 xfxx,0,0当00 xx时, 0)(xf显然 C 只能是 0 !CC则)(xf为0 xx (或 )x时的无穷小无穷小 .0lim ( )0,xxxf x 其中 为0 xx时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )Axfxx)(lim0( )f xA Axfxx)(lim0证证:Axfxx)(lim0,0,0当00 xx

3、时,有 Axf)(Axf)(0lim0 xx( )f xA ( )f xM 二、二、 无穷大无穷大定义定义2.2.若任给若任给M 0 , 0 ,0 00 xx 使对使对一切满足不等式一切满足不等式的的x, , 总有总有则称函数则称函数( )f x当当0 xx时为无穷大时为无穷大, , .)(lim0 xfxx)(Xx )(x)(lim(xfx( (正数正数 X),),记作记作总存在总存在1. 无穷大不是很大的数无穷大不是很大的数, ,它是描述函数的一种状态它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大函数为无穷大 , , 必定无界必定无界 . . 但反之不真但反之不真 ! !2、函数为无穷大函数一

4、定无界？反之如何？、函数为无穷大函数一定无界？反之如何？ 问题问题1、无穷大是很大的数吗？、无穷大是很大的数吗？例如例如,函数),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n当n2但但0)(2nf所以所以x时时 , ,)(xf不是无穷大不是无穷大 ! !oxyxxycos0 xxycos)2(nfn22() 0fn 22 32 32 例例 . 证明11lim1xx证证: 任给正数 M , 要使,11Mx即,11Mx只要取,1M则对满足10 x的一切 x , 有Mx11所以.11lim1xx若 ,)(lim0 xfxx则直线0 xx 为曲线)(xfy的铅直渐近线 .说明说明: :例例 . 证明11l

5、im1xx11xy渐近线1o三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系若)(xf为无穷大,)(1xf为无穷小 ;若)(xf为无穷小, 且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则 关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理定理2.2. 在自变量的同一变化过程中,结论结论: :小结小结1. 无穷小与无穷大的定义2. 无穷小与函数极限的关系3. 无穷小与无穷大的关系作业与练习作业与练习P42 题1# ；2* (1)，(2)；3*，7，8。 第一章第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则

6、第五节第五节极限运算法则极限运算法则一、 无穷小运算法则定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .说明说明: : 无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! !例例nnnnnn2221211lim1时, 有,min21定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和 . 设0lim0 ,xx,0lim0 xx,010 ,当010 x x时 , 有220,当020 xx时 , 有2取则当00 xx22因此.0)(lim0 xx这说明当0 xx 时,为无穷小量 .定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小。推论2.有限个无穷

7、小的乘积是无穷小。P31页题页题5定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设, ),(10 xxMu 又设,0lim0 xx即,0,02当),(20 xx时, 有M取,min21则当),(0 xx时 , 就有uuMM故,0lim0uxx即u是0 xx 时的无穷小 .sinlimxxx解: 1sin x01limxx利用定理 2 可知.0sinlimxxx说明:y = 0是xxysin的渐近线 .例1. 求oyxxxysin二、 极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理3.若)()(limxgxf)(l

8、im)(limxgxfBA1.2.3.若有若有B0 , , 则则)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA*定理定理3 3可推广到有限个函数相加、减、可推广到有限个函数相加、减、乘、除乘、除的情形。的情形。,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因,)(lim,)(limBxgAxf则有BxgAxf)(,)(其中,为无穷小) 于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小BA的关系定理 , 知定理结论成立 .1.若2 . 若,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limx

9、gxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .BA证证: 因,)(lim,)(limBxgAxf则有BxgAxf)(,)(其中,为无穷小) ( ) ( )f x g xABAB AB为无穷小(详见详见P44)B2B1)(1xg)(0 xx3.3. 若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因,)(lim,)(limBxgAxf有,)(,)(BxgAxf其中,设BAxgxf)()(BABA)(1BB)(AB无穷小有界BA因此由极限与无穷小关系定理 , 得BAxgxf)()(lim

10、)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(为无穷小,)(lim,)(limBxgAxf则有推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数 )推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数 )例例2. 设 n 次多项式,)(10nnnxaxaaxP试证).()(lim00 xPxPnnxx)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPn定理定理4 . 若,lim,limByAxnnnn则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA提示提示: 因为数列是一种特殊

11、的函数 , 故此定理 可由定理3 直接得出结论 .定理 5 :若,)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf则.BA( P45 定理 5 )()()(xgxfx提示: 令11.lim(21)xx32212.lim53xxxx*. 设有分式函数,)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多项式 ,0)(0 xQ试证: . )()(lim00 xRxRxx证证: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR 若 x = 3 时分母为 0 !31lim3xxx*若若,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则 .3.934lim2

12、23xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx62314 . 求.4532lim21xxxx解解: x = 1 时3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因234396. lim.521xxxxx33439lim.521xxxxx解解: x时,分子.232311114 39lim52xxxxx分子分母同除以3,x则54分母“ 抓大头抓大头”原式324397. lim.521xxxxx 5 .一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数 )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,

13、0,mn 当mn 当xxxsinlim. 8三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则( ) ,y f g x()y f u()u gx定理定理6.6.设设00lim( ),xxg xu0lim( ),uuf uA则则0lim ( ) x xf gx0lim ( )uuf uA由由复合而成，复合而成，当当100 xx时时, ,0( ),g xu10,在在 x0 的某一领域内有定义的某一领域内有定义 ( ) ,y f g x证证: ,0,0当00 u u 时, 有 Auf)(00lim ( )xxg xu,0,02当200 xx时, 有0( )g xu对上述取,min21则当00 x

14、x时0( )g xu0uu故0 ( )f g xAAuf)(,因此式成立.0lim ( ) x xf gx0lim ( )uuf uA定理定理6. 设0lim( ),xxg xu且 x 满足100 xx时,0( ),u xu又0lim( ),uuf uA则有0lim ( ) x xfg x0lim ( )uuf uA 说明说明: 若定理中若定理中0lim( ),xxg x 则类似可得lim ( ) xf gx lim( )uf uA例例7. 7. 求求解解: : 令.93lim23xxx932xxu已知ux3lim61 原式 =uu61lim6166例例8 . 求求解解: 方法方法 1.11l

15、im1xxx,xu 则, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2小结小结1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法0) 1xx 时, 用代入法( 分母不为 0 )0)2xx 时, 对00型 , 约去公因子x)3时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”(2) 复合函数极限求法设中间变量思考及练习思考及练习1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是

16、否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知)(limxg存在 , 与已知条件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.问3. 求. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令,1xt tttt1111lim2021则原式 =22011limttt111lim20tt 0t4. 试确定常数 a 使.0)1(lim33xaxx解解 : 令,1xt 则tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故1a因此作业作业P49 1 （5），（），（7），（），（9），（），（12），（），（14） 2 （1），（），（3） 3 （1） 4备选题备选题 设)(xf解解:利用前一极限式可令bxaxxxf2322)(再利用后一极限式 , 得xxfx)(lim30可见0,3ba是多项式 , 且,22)(lim23xxxfx,3)(lim0 xxfx求. )(xf)(lim0 xbax故xxxxf322)(23下次课下次课极限存在准则极限存在准则重要极限重要极限 等价无穷小替换等价无穷小替换