光波在非线性介质中的传播.ppt

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1、第二章光波在非线性介质中的传播 1非线性光学晶体 一 介电张量 1 对于各向同性介质 电场强度E与电位移矢量D有 介电常数 是一个常数 2 对于各向异性线性介质 电场强度E与电位移D有 介电常数 为二阶张量 对于保守系统 利用能量守恒可以证明介电张量为二阶对称张量 只有六个独立分量 即 则 3 对于各向异性非线性介质 介电常数 为更高阶张量 二 光学晶体 自然界的晶体有七大晶系 可以分为三类 第一类晶体是立方晶系 即各向同性晶体 三个主轴介电常数相等 电位移矢量D与电场强度矢量E方向相同第二类晶体是三方 四方 六方晶系 即单轴晶体 x和y方向的主轴介电常数相等 z方向的主轴介电常数不相等第三类

2、晶体是三斜 单斜 正交晶系 即双轴晶体 x y z方向的主轴介电常数各不相等 2光波在非线性介质中的基本方程 一 非线性介质的麦克斯韦方程 1 介质场中麦克斯韦方程组 物质方程 P M分别为介质的电极化强度和磁极化强度 为电导率 在各向异性介质中是二阶张量 这里近似为标量 为介质中的自由电荷密度 2 非线性介质中的麦克斯韦方程组 非线性介质中P和E的关系为 式中 n 是n阶电极化率 为n 1阶张量 或 则 式中 介质的线性介电常数 在各向异性介质中 1 和 是二阶张量 由于研究的光与物质相互作用主要是电作用 可以假定介质是非磁性的 即 只考虑电偶极矩近似 不计电四极矩和磁偶极矩的影响 非线性介

3、质的麦克斯韦方程简化为 二 各向异性非线性介质的时域波动方程 对式 1 的两边进行 运算 代入式 2 并用式 3 得到光在各向异性非线性介质中传播的波动方程 方程中若PNL 0 则为光在线性介质中的波动方程 方程右边的那项 相当于存在一个次波源 方程左边第二项与介质的吸收损耗有关 若介质为无损耗 则 方程左边第二项与介质的吸收损耗有关 若介质为无损耗 则 再利用 为解方程 1 2 和 1 2 求得场强E 必须首先求出非线性极化强度PNL 三 各向异性非线性介质的频域波动方程 将E r t 和PNL r t 展开成i 1 2 3 个单色平面波的组合 即傅里叶展开 将上两式代入无吸收各向异性非线性

4、介质时域波方程 消去两边的求和号和i序数 可得各向异性非线性介质的单色平面波频域的波动方程 对于第n阶极化效应 是由n个不同频率的次级波场引起的 加上原波场 可以列出n 1个非线性耦合波方程 联立求解这一组方程即可得知这些不同频率的光波在非线性介质中的相互耦合的规律 非线性极化率 n 正是这些耦合波方程的耦合系数 不同频率光波的能量可通过非线性介质的作用相互转移 四 各向同性非线性介质的频域波动方程 因为 对各向同性介质 有 且 各向同性非线性介质的单色平面波的波动方程 这是一个非齐次二阶微分方程 难以求解 一般都要做近似简化处理 慢变振幅近似是一种常用的方法 设一个沿z方向传播的稳态单色平面

5、波 振幅随z变化 但不随时间变化 电场强度和非线性极化强度为 则 将上式代入各向同性介质单色平面波的波动方程 则得在各向同性介质中z方向传播的单色平面波的波动方程 假定在波长量级的距离内光波振幅变化非常慢 满足以下条件 并假定PNL z 随z的变化可以忽略不计 则式 1 5 在略去第一项后写成 或 式中 在慢变近似条件下 各向同性非线性介质的单色波方程被简化为简单的一阶微分方程 便于计算 若存在介质对光场的吸收 根据式 1 1 式 1 6 应改写为 式中 是介质的吸收系数 五 各向同性非线性介质的时域波动方程 对各向同性介质 有 式 1 2 变为 因为 设时域下的波场为 在式 1 8 中 假定

6、波的振幅随空间和时间都缓慢变化 即满足以下慢变近似条件 则可以在式 1 8 中略去场振幅的二阶时间导数和二阶空间导数 得到各向同性介质中单色波的时域波方程 若光场振幅随时间缓慢变化 或是一个宽脉冲 式中v c n是光波的相速度 若光波是一个短脉冲 光场振幅应以积分来表示 v d dk是波包的群速度 3非线性极化率 一 介质极化的响应函数与极化率 1 线性响应函数与极化率 当光在介质中传播时 t时刻介质所感应的线性极化强度P t 不仅与t时刻的光电场E t 有关 还与t时刻前所有的光电场有关 假定在时刻t之前的时刻t1 t dt1的电场强度为E t1 它对在时间间隔 t t1 以后的极化强度的贡

7、献为dP 1 t 有 式中 为介质的线性响应函数 二阶张量 则t时刻的极化强度为 由因果性原理 当t1 t时的光场E t1 对P 1 t 无贡献 即 取E t1 和P 1 t 的傅里叶变换 代入式 3 1 得到频域的表达式 式中为线性极化率 即 2 非线性响应函数与极化率 对于二阶非线性极化强度P 2 t 它与光电场E t 成二次方关系 应有 式中 为介质的二阶极化响应函数 三阶张量 与之间的竖线表示n个点 对于n阶非线性极化强度P n t 有 式中 为介质的n阶极化响应函数 n 1阶张量 同样 对E和P取傅里叶变换 代入P n t 得到频域的表达式 式中为n阶非线性极化率 即 在非线性情况下

8、 极化强度为 式中 二 极化强度矢量关系的分量表示 假设光电场包含有多个频率分量 用复数表示则为 式中是频率为 n的光场的复振幅 n可正可负 应有 频率为 的极化强度分量为 式中 式中是二阶极化率张量分量 上式中的任意一项 表示由频率为 1 振动方向为 的光电场分量E 1 和频率为 2 振动方向为 的光电场分量E 2 通过二阶非线性相互作用产生的在 方向上振动且频率为 1 2 的二阶极化强度分量 其中任意一项 表示由频率为 1 振动方向为 的光电场分量E 1 频率为 2 振动方向为 的光电场分量E 2 及频率为 3 振动方向为 的光电场分量E 3 通过三阶非线性相互作用产生的在 方向上振动且频

9、率为 1 2 3 的三阶极化强度分量 三 极化率的一般性质 1 真实性条件 对极化率张量取复共轭 应有 上式中已考虑极化响应函数为实数和频率为复数的特性 同理可证 由于上面的关系保证了各阶极化强度P 1 P 2 P n 是实数的特性 所以称为极化率张量的真实性条件 在频率为实数的情况下 可以得到 如果引入符号 2 本征对易对称性 且由一维振子的二阶非线性极化率 则有 表明 交换两个频率为 1和 2的相互作用光电场的次序 二阶极化率保持不变 同样 在三维极化率张量的情况下 不仅要考虑光电场的振动频率 还要考虑光电场的偏振方向 因为关系 表示偏振方向为 的光电场分量E 1 其频率为 1 与偏振方向

10、为 的光电场分量E 2 其频率为 2 两者一起在 方向上感生的二阶非线性极化强度 应有 表示 二阶非线性极化率张量元素中的配对 1 与 2 交换次序 其值不变 这种性质是极化率张量本身所固有的 故称为极化率张量的本征对易对称性 对于三阶非线性极化率张量 也有 对于任意n阶非线性极化率张量 其本征对易对称性表现为n阶非线性极化率张量在所有配对的n 对易下 保持不变 当外加光电场频率 远离共振频率 0时 式中的虚部可以忽略不计 此时 介质与外加光电场之间没有能量交换 F 为实数 且有 3 完全对易对称性 而经典振子模型 得 由 对于三维情况 二阶极化率张量元素 可以将配对和一起考虑 任意交换它们的

11、次序 其值不变 同理 对于三阶极化率张量元素 这种交换方式共有4 种 对于一般的n阶极化率张量元素 这种交换方式共有 n 1 种完全对易方式 这种包括极化率张量元素中第一个指标在内的所有配对 任意交换次序其值不变的性质叫完全对易对称性 由于介质结构的对称性 当笛卡尔坐标的脚标被置换时 保持不变 使非线性极化率张量的独立矩阵元的总数大大减少 2 有27个独立元素 3 有81个独立元素 4 空间对称性 由于晶体结构具有空间对称性 这种空间对称性必将对极化率张量给予限制 导致极化率张量的非零元素大大减少 例如 2 的非零元素少于27个 而且其独立元素数目可能更少 非零元素 独立元素的多少与晶体的对称

12、类型有关 对称性越高 非零元素 独立元素数目越少 对具有反演中心 或中心对称 的介质 其P 1 t P 2 t 和P 3 t 的关系式 在x x y y z z的坐标变换下 P和E都改变了方向 导致P 1 t 和P 3 t 的关系式不变 而P 2 t 的关系式变为 根据对称性要求 2 必须为零 该式才能成立 结论 具有中心对称介质偶数阶非线性极化率为零 四 Kramers Kronig 克雷默斯 克朗尼 色散关系式 极化率 是一个复数 式中 P V 表示后面的积分为柯西主值积分 由Kramers Kronig色散关系可见 只要知道极化率的实部和虚部中任何一个 就可以通过此关系求出另外一个 五 极化率的单位 国际单位制 即MKS SI单位制 高斯单位制 即cgs esu单位制 线性极化率 1 无量纲 二阶极化率 2 n阶极化率 线性极化率 二阶极化率 三阶极化率 n阶极化率