电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤曹伟)第4章习题解答 (1).pdf

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1、The shortest way to do many things is to only one thing at a time and All things in their being are good for something and Suffering is the most powerful teacher of life1第第 4 4 章习题解答章习题解答4.14.1 电导率为电导率为的均匀、线性、各向同性的导体球，半径为的均匀、线性、各向同性的导体球，半径为，其表面的电位分布，其表面的电位分布R为为。试确定表面上各点的电流密度。试确定表面上各点的电流密度。0cos解：解：由于

2、导体球的外部是空气，所有在导体球的表面只有切向分量，即0ttt11sinsinJEeeeRRR 4.24.2 如题如题 4.24.2 图所示平板电容器。板间填充两种不同的导电媒质，其厚度分别为图所示平板电容器。板间填充两种不同的导电媒质，其厚度分别为和和，两平板的面积均为，两平板的面积均为。若在两极板上加上恒定的电压。若在两极板上加上恒定的电压。试求板间。试求板间1d2dS0U的电位的电位、电场强度、电场强度、电流密度、电流密度以及各分界面上的自由电荷和电容器的漏以及各分界面上的自由电荷和电容器的漏EJ电导。电导。解：解：理想电容器，满足的定解问题为021 和 210 220 以及121111

3、12120121200 xx ddx dx dx dx dVxx由直接积分法可以得到电位的通解为 和 1 AxB2CxD由和可以确定出及，则上式电位的表达式为100 x1220 x ddV0B)(210ddCVD 和 1 Ax2012()CxVC dd利用电位在介质分界面的边界条件，则确定出211201211202ddVCddVA因此电位分布为 和 2012112Vxdd102110221122112()VdVxdddd而对应的电场强度和电位移矢量为 和 2101221xEeVdd 1201221xEeVdd 以及 和 12101221xDeVdd 12201221xDeVdd 根据静电比拟法

4、得到对平板电容器内恒定电场的电位为EEDJ 和 2012112Vxdd102110221122112()VdVxdddd电场强度为 和 2101221xEeVdd 1201221xEeVdd 电流密度矢量为 和 12101221xJeVdd 12201221xJeVdd 此时的电流称为电容器的漏电流，对应的电导称为电容器的漏电导，有GThe shortest way to do many things is to only one thing at a time and All things in their being are good for something and Suffering

5、 is the most powerful teacher of life2 极板的面积121221ddddSSCCJSESSIGVddElEl AAS4.34.3 如题如题 4.34.3 图所示矩形导体片的电导率为图所示矩形导体片的电导率为，试求导电片上的电位分布，试求导电片上的电位分布以及导电片中各处的电流密度。以及导电片中各处的电流密度。解：解：根据题意，定解问题为20以及 0000 sin0 02nxx ayy byUb于是可以将通解直接选为1212( , )(sinh|cosh| )(sincos)yyyyx yCkxCkx Dk yDk y由得到，则 00y02D12( , )(s

6、inh |cosh | )sinyyyx yCkxCkxk y由得到，即。因此0y by0cosbky(21),1,2,2ynknb1(21)(21)(21)( , )sinhcoshsin222nnnnxnxnyx yCDbbb由得到，于是00y0nD1(21)(21)( , )sinhsin22nnnxnyx yCbb再由可以得到0sin2x ayUyb01(21)(21)sinsinhsin222nnynanyUCbbb比较系数法可以得到，而其余的系数均为零。因此，导电片上电位分布为01sinh2UCab0( , )sinhsin22sinh2Uxyx yabbb利用和可以计算出导电片上

7、各处电流密度分布为E EJ0coshsinsinhcos222222sh2xyxyJEeexyUxyxyeeabbbbbbb 4.44.4 在电导率为在电导率为的无限大导电媒质中流有电流密度的无限大导电媒质中流有电流密度的恒定电流。今沿的恒定电流。今沿轴方向挖一半径为轴方向挖一半径为的无限的无限0 xJJ eza长圆孔。试求空间各处的电位长圆孔。试求空间各处的电位、电场强度、电场强度和电流密度和电流密度。EJ解：解：在圆柱坐标系下，均匀电流密度产生的电位为，因此存在空腔的媒质中电位的定Jcos0J( , ) 解问题为20以及 和 0a0cosJ The shortest way to do m

8、any things is to only one thing at a time and All things in their being are good for something and Suffering is the most powerful teacher of life3根据分离变量法可以得到问题的通解为001( , )ln(sincos)(sincos)nnnnnnnABAnBnCnDn 代入边界条件可以得到，即 0JA 220a JBa A 20( , )()cosJa 而电流密度为220221(1)cos(1)sinzJEeeezaaJee 4.54.5 如题如题 4

9、54.5 图所示，厚度为图所示，厚度为的扇形弧片由两块大小相同但电导率不同的金属片构的扇形弧片由两块大小相同但电导率不同的金属片构d成。弧片的内外半径分别为成。弧片的内外半径分别为和和。当以。当以和和作为电极时，加上恒定的电作为电极时，加上恒定的电1R2RABCD压压后，试求弧片上的电位分布、分界面上的面电荷密度以及极板间的电阻；若后，试求弧片上的电位分布、分界面上的面电荷密度以及极板间的电阻；若0U以以和和作为电极，结果又如何？作为电极，结果又如何？AADABC解：解：弧片内电流只有分量，即，。根据边界条件可以e11JJ e22JJ e1n2nJJ得到，即。而21JJ 2211EE/4/2

10、021120/4ddd()4CDABUE elEEEE 可以解得 201012121244()()UUEeEe金属片 1 中的电位分布为10120124dd 0()4PABUE elE 金属片 2 中电位分布为/4201202210/412124()ddd ()()42PABUUE elEE 面电荷密度为 00021002121124()()()SUJEE 电流为 21021021212144ddln()()bSaUURIJSdR 根据电阻的定义可得 1222101()14lnURRIUR 当电极改置于内圆弧和外圆弧，则，即，因此电位仅为的函数，21EE 12r1021 dd0() ()0dd

11、RURr因此电位分布为 021221( )ln(/) ln(/)UrRRRRR于是有 1020111122222121d( )( )ln(/)dln(/)UUdJErJErdRRRR 因此，总电流为The shortest way to do many things is to only one thing at a time and All things in their being are good for something and Suffering is the most powerful teacher of life412120121221()dd444ln(/)SSU dIJ

12、SJSJdJdRR阻抗为211204ln(/)()RRRU d4.64.6 球形电容器的内球半径为球形电容器的内球半径为，外球壳的内半径为，外球壳的内半径为。将两种不同的。将两种不同的 导电煤质分别填入两个半球，两种导电导电煤质分别填入两个半球，两种导电ab煤质的煤质的 电导率分别为电导率分别为和和。求该电容器的漏电阻。求该电容器的漏电阻。12解：解：设在上电位为，上电位为零。根据题意，电位仅为的函数，因此定解问题为ar Ubr r221 dd0( ) ( )0ddraUbrrr因此，通解为CDr 根据边界条件可以得到baaUDbaabUC因此11abUbarb在两种煤质中电流密度分别为222

13、2221111rababUEJrababUEJ因此总电流为1212122dd()SSabUIJ SJSba于是电容器的漏电阻1212()baRab4.84.8 半径为半径为的圆柱形导体内的磁场的圆柱形导体内的磁场，试求导体中的总电流。，试求导体中的总电流。1a cm2424.77 1022 10HeA/m解：解： JH 42134.77 1012 10zzzzeeeHeezHHH20.0142003d4.77 101d02 10SIJS 4.144.14 已知某一电流分布的矢量磁位为已知某一电流分布的矢量磁位为224xyzAe x ye y xexyz求该电流分布及其对应的求该电流分布及其对应的。B解：解：利用矢量磁位满足的泊松方程来求出电流分布为A222222222yxzxyzxyAAAJAeeeeyexxyz The shortest way to do many things is to only one thing at a time and All things in their being are good for something and Suffering is the most powerful teacher of life5由可以求出磁感应强度为AB22244()yyxxzzxyzxyzAAAAAABAeey xeyzzxxyexzeyzeyx