11条件数学期望(北大).pdf

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1、1 4 5 条件期望条件期望 一一 定义定义 设二维随机变量设二维随机变量 X Y 把在把在X x条件下条件下Y的条件分 布的期望记作 的条件分 布的期望记作mY X x E Y X x 称称mY X X 为为Y关 于 关 于X的条件期望的条件期望 记作记作E Y X 即即 E Y X mY X X 注意注意 E Y X 是一个随机变量是一个随机变量 它是它是X的函数的函数 类似地类似地 mX Y y E X Y y X关于关于Y的条件期望的条件期望 E X Y mX Y Y 它是它是Y的函数的函数 2 离散型离散型 设设 X Y 的分布律为的分布律为P X ai Y bj pij i j 1

2、 2 在在X ai pi 0 条件下条件下Y的条件分布律的条件分布律 P Y bj X ai pij pi j 1 2 在在X ai pi 0 条件下条件下Y的条件期望的条件期望 mY X ai j bjpij pi Y关于关于X的条件期望的条件期望E Y X 的可能取值为的可能取值为 mY X ai j bjpij pi i 1 2 类似地类似地 X关于关于Y的条件期望的条件期望E X Y 的可能取值为的可能取值为 mX Y bj i aipij p j j 1 2 3 0 1 2 pi 0 0 1 0 2 0 20 5 1 0 3 0 1 0 10 5 p j0 4 0 3 0 31 0

3、X Y X的条件分布律的条件分布律 0 1 2 0 1 4 2 3 2 3 1 3 4 1 3 1 3 X Y 例例1 X关于关于Y条件期望条件期望 0 1 2 3 4 1 3 1 3 0 4 0 3 0 3 Y E X Y p 3 4 1 3 0 4 0 6 E X Y p 4 Y的条件分布律的条件分布律 0 1 2 0 1 5 2 5 2 5 1 3 5 1 5 1 5 X Y Y关于关于X条件期望条件期望 0 1 6 5 3 5 0 5 0 5 X E Y X p 6 5 3 5 0 5 0 5 E Y X p 0 1 2 pi 0 0 1 0 2 0 20 5 1 0 3 0 1 0

4、10 5 p j0 4 0 3 0 31 0 X Y 5 例例2 设射手的命中率为设射手的命中率为p 进行到击中进行到击中2次为止次为止 记记 X为击中第一次时的射击次数为击中第一次时的射击次数 Y为击中第二次时为击中第二次时 的射击次数的射击次数 P X i Y j p2qj 2 i 1 2 j i 1 i 2 P X i pqi 1 i 1 2 P Y j X i pqj i 1 j i 1 i 2 i 1 2 1 1 ij ij jpqiXYE 1 1 1 1 1 1 k k k k k k pqikpqpqik 令令k j i p i 1 得得 E Y X X 1 p P E Y X

5、i 1 p pqi 1 i 1 2 6 P Y j j 1 p2qj 2 j 2 3 P X i Y j 1 j 1 i 1 2 j 1 j 2 3 L 3 2 21 1 1 j j j i jYXE j i 得得 E X Y Y 2 P E X Y j 2 j 1 pqj 2 j 2 3 7 连续型连续型 设设 X Y 的密度为的密度为f x y dy xf yxf y dyxyyfxm X XYXY Y关于关于X的条件期望的条件期望 E Y X mY X X dx yf yxf xym Y YX X关于关于Y的条件期望的条件期望 E X Y mX Y Y 8 例例3 设设 X Y 服从服从

6、D x y 0 x 1 0 y x2 上的均匀分布上的均匀分布 x y 0 y x2 1 其他 其他 0 0 10 3 2 xyx yxf 其他 其他 0 10 3 2 xx xfX 当当0 x 1时时 其他 其他 0 0 1 2 2 xy xxyf XY mY X x E Y X x x2 2 得得 2 2 1 XXYE 9 其他 其他 0 10 1 3 yy yfY 当当0 y 1时时 其他 其他 0 1 1 1 xy yyxf YX 1 2 1 yyYXEym YX 1 2 1 YYXE 得得 10 二二 性质性质 根据随机变量函数的期望公式根据随机变量函数的期望公式 有 离散型 有 离

7、散型 E g Y X ai j g bj pij pi E g X Y bj i g ai pij p j 连续型连续型 dy xf yxf ygxXYgE X dx yf yxf xgyYXgE Y 11 性质性质 1 E c X c 2 E aY1 bY2 X aE Y1 X bE Y2 X 3 若若X与与Y相互独立相互独立 则则E Y X E Y 4 E E g X Y X E g X Y 特别地特别地 E E Y X E Y 5 E g X Y X g X E Y X 6 对任意的对任意的g E Y E Y X 2 E Y g X 2 含义含义 在最小二乘意义下在最小二乘意义下 m X

8、 E Y X 是是Y的最的最 佳预测佳预测 12 1 E c X c 证证 21 21 21 2121 21 21 dydy xf yyxf byay dydyxyyfbyay X XYY 设设X Y1 Y2的联合密度为的联合密度为f x y1 y2 E aY1 bY2 X x 2 E aY1 bY2 X aE Y1 X bE Y2 X 证证 P Y c 1 P Y c X x 1 E Y X x c 13 21 22 211 1 2 2 21 1 1 21 21 221 21 1 21 21 xXYbExXYaE dyxyfybdyxyfya dy xf yxf ybdy xf yxf ya

9、 dydy xf yyxf ybdydy xf yyxf ya XYXY X YX X YX XX 3 若若X与与Y相互独立相互独立 则则E Y X E Y 证证fY X y x f x y fX x fY y YEdyyyfdyxyyfxXYE YXY 14 4 E E g X Y X E g X Y 证证 m x E g X Y X x dy xf yxf yxgdyxyfyxg X XY E E g X Y X E m X YXgEdxdyyxfyxg dxxfdy xf yxf yxg X X dxxfxm X 15 5 E g X Y X g X E Y X 证证 E g X Y X

10、 x dyxyyfxg XY xXYExg 6 E Y E Y X 2 E Y g X 2 证证 记记 m X E Y X E Y g X 2 E Y m X m X g X 2 E Y m X 2 E m X g X 2 2 E Y m X m X g X 16 E Y m X m X g X E E Y m X m X g X X 性质性质 4 E m X g X E Y m X X 性质性质 5 E Y m X X E Y X E m X X 性质性质 2 m X m X E 1 X 0性质性质 5 1 得得 E Y g X 2 E Y m X 2 E m X g X 2 E Y m X 2 17 作业作业 1 设设Xi P P i i 1 2 N且相互独立且相互独立 记记Yk X1 X2 Xk Y YN 求求E Yk Y 2 设设X U 0 1 Y U X 1 求求E Y X 3 证明证明 E g X Y E g X E Y X