FIR和IIR数字滤波器的设计及稳定性研究汇总.pdf

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1、广西师范大学硕士学位论文FIR和IIR数字滤波器的设计及稳定性研究姓名：林志源申请学位级别：硕士专业：电路与系统指导教师：罗晓曙20090401摘要IFIR 和 IIR 数字滤波器的设计及稳定性研究指导老师：罗晓曙 研究生：林志源学科专业：电路与系统 研究方向：数字信号处理 年级：2006 级摘 要摘 要数字滤波器是 DSP(数字信号处理)系统独特而又重要的一类， 是通过计算算法将输入数字序列转换为不同输出序列的离散时间系统， 具有更高的精确度和可靠性，使用灵活、方便，已经成为数字信号处理技术中的重要手段。而数字滤波器的设计中通常会用到各种各样流行的现代算法，包括遗传算法（GA）,模拟退火算法

2、（SA） ，禁忌搜索（TS）,蚁群最优化算法（ACO） ，神经网络算法（NNs）和人工免疫算法（IA）等等。然而，每一种算法都有自己的特点和缺陷，找到一种合适的算法可以大大减少运行时间，节约内存。本文针对 PSO 算法易于在初始循环不久陷入局部最小值， 及当滤波器阶数比较大时运行慢的缺点，研究了一种改进的 PSO 算法，并成功地运用于滤波器系数估计，二维分母可分离状态空间数字滤波器的实现等。IIR 滤波器的设计中必须考虑到系统的稳定性，即系统的极点必须位于单位圆内。然而并不是极点位于单位圆内的系统就一定是稳定的。例如由于用来存储数据的寄存器都是有限字长的，对实际数据的处理中必须要经过量化或舍入

3、步骤，这样就有可能使极点移到单位圆上而造成系统的不稳定（极限环现象） 。本文在由一维和二维 Roesser 模型所描述的状态空间滤波器不存在极限环判据的基础上，推广了三维空间的 Roesser 模型，并给出三维空间模型中不存在溢出振荡的两个判据。关键词：改进的 PSO 算法，滤波器系数估计，分母可分离状态空间滤波器，溢出振荡，三维状态空间 Roesser 模型摘要IIThe design and study of stability for FIR and IIRdigital filtersMentor: Prof. Luo-XiaoshuName: Lin-ZhiyuanSpecialty

4、: circuitry and systemDirection of study: digital signal processingGrade:2006ABSTRACTABSTRACTDigital filter is one of the particular and important classes in DSP(digital signal processing) and discrete time system which converts inputdigital sequence into different output ones using computing algori

5、thm. Ithas being the most important means in DSP because of its flexible ,convenient, higher precision and reliability. As we all know, there aremany modern algorithms in digital filter designing, including geneticalgorithms (GA), simulated annealing (SA), taboo search (TS), the antcolony optimizati

6、on (ACO), neural networks (NNs) and artificial immunealgorithm (IA) etc. Nevertheless, each method has its advantage anddisadvantage. A right algorithm can not only reduce more runtime butsave EMS memory as well.In this paper, an improved PSO (the particle swarm optimization) isproposed due to the s

7、hortcoming of PSO that the convergence of PSO ispremature soon after the iteration begins, and that PSO often run slowly ifthe class of filter is large. This improved algorithm was used triumphantly摘要IIIto the estimation of the filter coefficients, the realization of 2- dimensionseparable-denominato

8、r state-space filter, and so on.The stability of system must be considered in IIR digital filterdesigning, that is to say, the systemic poles lie inside the unit circle.However, not all systems whose poles lie inside unit cycle are stability.For example, it is because of that the register used to st

9、ore date is limitedword-length, it must have quantity and rounding steps when dealing withthe real date, as a result, the poles may be moved out of or on the unitcycle, and the system become instability (such as limit cycle phenomena).In this paper, a 3-D state-space Roesser model was generalized, a

10、nd twocriteria for non-existence of overflow oscillation based on the ones of 1-Dand 2-D state-space Roesser model are proposed.Keywords: improved PSO algorithm, estimation of filtercoefficients, separable-denominator state-space filter, overflowoscillation， 3D state-space Roesser model主要符号对照表IV主要符号

11、对照表主要符号对照表SPoT:二的幂次方和.FIR:有限冲激响应.IIR:无限冲激响应.PSO:粒子群最优化.DSP:数字信号处理.BIBO:有限输入有限输出.GA:遗传算法.SA:模拟退火算法.TS:禁忌搜索.ACO:蚁群最优化算法.NNs:神经网络算法.IA:人工免疫算法.SSE:平方误差的和.论文独创性声明本人郑重声明： 所提交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他人或其他机构已经发表或撰写过的研究成果。 对本文的研究作出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。研究生签名：日期：论文使用授权

12、声明本人完全了解广西师范大学有关保留、使用学位论文的规定。广西师范大学、中国科学技术信息研究所、清华大学论文合作部，有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅， 可以公布 （包括刊登） 论文的全部或部分内容。论文的公布（包括刊登）授权广西师范大学学位办办理。研究生签名：日期：导 师签名：日期：引言1第 1 章 引言第 1 章 引言第 1 节 研究的目的和意义第 1 节 研究的目的和意义随着数字集成电路，设备和系统技术的快速进步，通过数字方法进行信号处理已变得越来

13、越有吸引力。大规模一般用途的计算机和特殊用途硬盘的高效性，已使得实时滤波既实用又经济。目前主要有两类滤波器，模拟滤波器和数字滤波器，它们在物理组成和工作方式上完全不同，而模拟滤波器的技术发展已相当成熟，所以研究的重点基本上放在了数字滤波器上。与模拟滤波器相比，数字滤波器是 DSP(数字信号处理)系统独特而又重要的一类，是通过计算算法将输入数字序列转换为不同输出序列的离散时间系统，具有更高的精确度和可靠性，使用灵活、方便，已经成为数字信号处理技术中的重要手段。如频谱分析，数字图像处理和语音处理等等。数字滤波器的设计开始于理想的实数标准，即从一组标准值中确定传输函数的过程。这组标准值要么在频域，要

14、么在时域，或在某些应用场合，同时在时域和频域中给定。但在滤波器的设计中，由于有限字长影响会产生非线性现象，即粒状和溢出，而且如果滤波器参数选择不合适，还会出现极限环现象，这些都使得所设计的滤波器不稳定，因而当我们根据实际需要设计数字滤波器时，必须对滤波器的稳定性进行深入研究。滤波器的功能是用来移除信号中不需要的部分，比如随机噪声；或取出信号中的有用部分，如位于某段频率范围内的成分。目前随着计算机技术和数字信号处理器芯片的发展，使我们更为便利地识别和提取各种各样的信号。因此研究不同数字滤波器的设计原理和稳定性分析对于满足军事、航空、民营等等各个领域的信号处理要求具有十分重要的意义。 第 2 节

15、国内外研究现状及水平 第 2 节 国内外研究现状及水平国内相关的专家学者研究的重点主要放在特定用途数字滤波器的设计和硬件的实现上，如基于微波滤波器组的波形提取和频率测量（合肥工业大学自动控制学院 徐克军，汪小芬，李永山等） ；基于 MATLAB 和 IP 核的心电信号数字滤波器的设计（南京师范大学信息科学与技术学院 倪维柱 徐寅林 吴华玉）等等。国外专家学者的研究领域比较广泛，如新加坡的 Ling Cen 等人尝试用一种混合遗传算法（AGA+SA+TS）来设计具有 SPoT（sum of the power of two）系数的FIR 滤波器，不仅使得计算量大大减少,而且大大减少了标准纹波的峰

16、值；印度学者 Swagatam Das, Amit Konar 等人尝试利用群集智能原理，用 PSO（粒子群最优化）运算规则来设计二维零相位无限脉冲响应数字滤波器，这种方法是受一些社会昆虫（如蜜蜂、白蚁和黄蜂）行为所体现的群体智能的启发，这些昆虫平引言2均都具有非常有限的个体能力，却能够联合起来（合作）完成他们生存所必需的复杂任务；土耳其的 Vimal Singh, Haranath Kar 等人在状态空间中极限环的消除方面有着深入的研究。第 3 节 项目来源与要求第 3 节 项目来源与要求本项目主要是根据现代生活的实际需要和当代科技的发展状况而提出的。 前已提及，数字滤波器在电气应用，电力自

17、动化设计，电子测量等等方面都有着广泛的应用。且随着计算机技术的飞速发展，尤其是计算速度的快速提高和存储容量的增大，使得数字滤波器的应用越来越有吸引力。滤波器的设计问题实际上就是根据需要确定所设计数字滤波器的参数应满足什么条件的问题。 因此，设计时不仅要求熟练掌握各类滤波器的基本原理和特点，还要至少掌握一到两个好的算法，并且要能准确应用相关的仿真软件，如MATLAB、origin、visual C+等。第 4 节 本文所作的主要工作第 4 节 本文所作的主要工作本论文所作的主要工作如下 ：1、 研究 PSO 算法的优缺点，并提出 PSO 算法的一种改进形式。2、 将改进的 PSO 算法用于滤波器

18、系统设计，成功地估计了滤波器的系数。3、 对二维分母可分离数字滤波器进行了级联形式推导，并以状态空间模式表示，在此基础上，用改进的 PSO 算法实现该滤波器。4、在研究一维和二维 Roesser 模型状态空间滤波器的基础上，推广了三维状态空间的 Roesser 模型，同时给出该系统中不存在溢出振荡的两个判据，并加以证明。第 5 节 项目难点及本文解决方案第 5 节 项目难点及本文解决方案 二维 IIR 滤波器由于系数多，且存在反馈，给参数的调整及稳定性分析方面造成很大困难，为此，本文一方面采用将二维数字滤波器转化为两个一维数字滤波器的级联形式，然后化为状态空间表示；另一方面对常用算法进行改进（

19、如本文中改进的 PSO 算法） ，通过新算法对状态空间滤波器进行设计、仿真。第 6 节 试验所采用的软硬件平台第 6 节 试验所采用的软硬件平台试验采用的硬件平台有广西师范大学物理与电子工程学院大学生电子科研创新基地的科研设备， 联想180G, 1G 内存的商用计算机一台， 软件有 Windows XP平台的 Visual C+6.0, Origin 7.5,matlab 以及广西师范大学图书馆丰富的藏引言3书和电子期刊、论文等。第 7 节 后续章节介绍第 7 节 后续章节介绍 第二章对本文所研究领域中滤波器的相关知识作简要介绍。 主要包括滤波器的概念及分类，数字滤波器的概念及分类，FIR 滤

20、波器，IIR 滤波器，溢出振荡的产生及预防及二维数字滤波器等。 第三章介绍本文所采用的主要算法，涉及到遗传算法，PSO 算法和本人改进的 PSO 算法。其中 PSO 算法和改进的 PSO 算法是本章的重中之重。 第四章介绍 IIR 滤波器的设计方法， 并将第三章中改进的 PSO 算法应用于数字滤波器的系数估计，和二维分母可分离状态空间数字滤波器的实现。实例和仿真结果表明了所改进的 PSO 算法在处理 IIR 滤波器的设计问题方面是非常有效的。第五章在一维和二维 Roesser 模型状态空间的基础上进行了 Roesser 模型的三维推广，同时给出了系统不存在溢出振荡的条件和证明。滤 波 器 简

21、介4第 2 章 滤波器简介第 2 章 滤波器简介第 1 节 滤波器的概念及其分类第 1 节 滤波器的概念及其分类所谓滤波器，顾名思义，是对波进行过滤的器件，实质上就是具有频率选择作用的电路或运算处理系统。 这里的“波”特指描述各种物理量的取值随时间变化的过程。该过程通过各类传感器的作用，被转换为电压或电流的时间函数，称之为各种物理量的时间波形，或称之为“信号”；而这里的“选择作用”是当外部输入信号通过滤波器时，能够移除信号中不需要的频率成分，比如随机噪声或其它干扰信号；或取出信号中的有用部分，如位于某段频率范围内的成分。滤波器有各种不同的类型， 按处理信号的形式和实现滤波方法的不同可分为模拟滤

22、波器和数字滤波器两种， 按功能不同分为低通、 高通、 带通和带阻滤波器；按电路的组成分为 LC 无源滤波器、RC 无源滤波器、由特殊元件构成的无源滤波器、RC 有源滤波器；按传递函数的微分方程阶数, 分为一阶、二阶和高阶滤波器；按滤波器的输出是否为输入的线性函数分为线性滤波器和非线性滤波器；根据滤波器的参数是否随时间变化，又可将滤波器分为时变和非时变两种。滤波器还有其它的一些分类方法，在此就不一一列举了。模拟滤波器的滤波处理是针对模拟信号（Analog Signal，或称之为连续时间信号）进行的，也就是说，是以模拟信号通过用模拟元器件构造的网络（即模拟滤波器） ，或者对模拟信号进行模拟量的计算

23、。迄今为止，模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯（Butterworth）滤波器、切比雪夫（Chebyshev）滤波器、椭圆（Ellipse）滤波器、贝塞尔（Bessel）滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。 但随着数字集成电路， 设备和系统技术的快速进步，通过数字方法进行信号处理已变得越来越有吸引力。 大规模一般用途的计算机和特殊用途硬盘的高效性，已使得实时滤波既实用又经济。因而模拟函数已逐渐为数字算法所代替。数字信号处理（DSP）的优势是其性能总是可预知的，不依赖于电子元器件的性能优劣，而在模拟电路中

24、，电子元器件的性能是必须要考虑的。同时 DSP 还能处理模拟系统中出现的极低频问题。 因为所有的 DSP 算法或处理器都可适当地描述成数字滤波器，所以数字滤波器的设计是当今一个基本而又重要的研究课题。滤 波 器 简 介5第 2 节 数字滤波器第 2 节 数字滤波器一、 数字滤波器的概念及其分类一、 数字滤波器的概念及其分类所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，并有一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。 和模拟滤波器相比，数字滤波器具有精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配以及实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能等优点。数字滤波器按照不同的分

25、类方法，有许多种类，但总的来说可以分成两类。一类是经典滤波器，即一般的滤波器，其特点是输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器达到滤波的目的；另一类是所谓的现代滤波器，如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最优滤波器。这些滤波器可按照随机信号内部的一些统计分布规律，从干扰中最佳地提取信号。一般的数字滤波器从功能上分类，和模拟滤波器一样，可以分为低通、高通、带通和带阻滤波器。数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分为有限脉冲响应（FIR）滤波器和无限脉冲响应（IIR）滤波器。它们的系统函数分别为：10()()NnnHzhnz-= （

26、2.2.1）01()/(1)MNrkrkrkHzb za z-=+ （2.2.2）FIR 滤波器的输出与当前和过去的输入数据有关。而 IIR 滤波器的输出不仅取决于当前和过去的输入，还取决于过去的输出，也就是说，IIR 滤波器中包含了反馈。对于一个给定的滤波特性来说，FIR 滤波器要能达到预定目标需要很多项，而 IIR 一般只需很少的项就能完成1。另一方面，由于不存在反馈和始终稳定， FIR 滤波器一般很容易实现，而 IIR 滤波器要想获得线性相位响应和控制整个频率响应则很难，但却容易实现窄带频响，这一特性使得 IIR 滤波器的应用范围更广。二、 有限脉冲响应数字滤波器（FIR）简介二、 有限

27、脉冲响应数字滤波器（FIR）简介有限脉冲响应（简称 FIR）系统的单位脉冲响应 h(n)为有限长序列，系统函数 H(z)在有限 z 平面上不存在极点，其运算结构中没有反馈支路，即没有环路。所以， 有限脉冲响应滤波器可以设计成在整个频率范围内均可提供精确的线性相位，而且总是可以独立于滤波器系数保持有限输入有限输出（BIBO）稳定，因此在很多领域，这样的滤波器是首选的。FIR 滤波器的实现形式通常有以下几种：直接型，级联型，多相实现和线性滤 波 器 简 介6相位 FIR 滤波器结构。直接型结构的输入输出关系如下：0Nkynhkxnk=- （2.2.3）通常在这种结构中需要 N+1 个乘法器和 N

28、个两输入加法器来实现。 其结构图可以表示为图 2.1 直接型结构 高阶 FIR 传输函数可以由一阶或二阶传输函数级联实现，它是通过对式（2.2.2）进行因式分解得到的。12121()0 (1)KkkkHzhzzbb-=+ （2.2.4）其中，当 N 为偶数时，K=N/2；当 N 是奇数时，K=(N+1)/2 且20Kb=。由于级联形式是规范型结构， 所以需要用 N 个两输入的加法器和 N+1 个乘法器来实现 N 阶有限脉冲响应传递函数。图 2.2 级联型结构 有限脉冲响应滤波器的另一种实现是基于传输函数的多相位分解所得到的并联结构。一般情况下，L 支 N 阶多相分解的传输函数具有以下形式：10

29、()()LmLmmHzzEz-= （2.2.5）式中(1)/0( ),01NLnmnEzh Lnm zmL+-=+- （2.2.6）注意，在有限脉冲响应传输函数的多相实现中，子滤波器()LmEz也是有限脉冲响应滤波器，并且子滤波器可以用直接或级联型方法实现。三、 无限脉冲响应数字滤波器（IIR）简介三、 无限脉冲响应数字滤波器（IIR）简介IIR 滤波器的单位脉冲响应 h(n)为无限长序列，系统函数 H(z)在有限 z 平滤 波 器 简 介7面上存在极点，其运算结构的特点是含有反馈环路，即在结构上是递归型的。在给定滤波特性的情况下，IIR 滤波器所用的项更少，此外，IIR 滤波器还能实现窄带频

30、响。IIR 滤波器的实现结构并不唯一，同一系统函数（或差分方程）可以有各种不同的结构形式。基本结构主要有三种，即直接型、级联型和并联型。1） IIR 系统的直接实现形式对于 IIR 系统10( )( ) ()( ) (), (0)1NMkry na k y nkb r x nrb=+-=-= （2.2.7）相应的 z 变换可写成01100( )( )( )/(1( )( )/(1( )( )( )( )MNrkrkNMMkrrkrrY zX zb r za k zX za k zb r zW zb r z-=-=+=+= （2.2.8）式中1( )( )/(1( )NkkW zX za k z

31、-=+W(z)、Y(z)对应的差分方程分别是10( )( ) ()( )( )( ) ()NkMrw na k w nkx ny nb r w nr= -+=-（2.2.9）信号流图如下：图 2.3 IIR 系统的直接实现（假定 NM）由于数字系统的字长总是有限的，因此其系统精度总是有限的。每一个系统的量化误差及乘法器的舍入误差对输出都将有积累效应，以致输出误差偏大，这是直接实现形式的一个缺点。2） IIR 系统的级联实现 将 H(z)的分子分母多项式分成一阶或二阶多项式的连乘。考虑到 H(z)若有复数极零点，则必为共轭成对出现，作物理实现时，其系数应为实数。因此将它们分解为二阶形式更为合理。

32、若NM ，N为偶数，则可将 H(z)分成N/2 个二阶滤 波 器 简 介8多项式的连乘，若N为奇数，则子系统的数目应为（N+1）/2，其中包含一个一阶子系统。图 2.4 二阶子系统信号流图级联型结构中每一个一阶网络决定一个零点、一个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。3） IIR 系统的并联实现 将 H(z)分解为各因式之和，则每个子系统有着共同的输入x(n)，而其输出( )iy n 之和便是系统的总输出y(n)。并联型结构中，每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点。由于并联结构的每一个子系统都是独立的，不受其它子系统系数量化误差及乘法舍入误差的影响，因此是所述

33、三种结构中误差最不敏感的结构形式。还有其它的一些数字滤波器， 如全通滤波器， 梳状滤波器， 理想格型滤波器、简单整系数数字滤波器、采样率转换滤波器、平均滤波器、平滑滤波器和低阶低通差分滤波器等，由于不是本论文研究的主要内容，在此就不作介绍，只在后续章节中遇到时再作叙述。第 3 节 数字滤波器中的非线性现象第 3 节 数字滤波器中的非线性现象当使用定点算法设计数字滤波器时， 由于有限字长效应会产生量化和溢出非线性，而这些非线性有可能会导致滤波器的不稳定。同时这些非线性还可能是零输入极限环产生的原因，极限环反映了滤波器的不稳定行为，因此必须要想办法避免。一、 有限字长效应的简要分析一、 有限字长效

34、应的简要分析通常情况下，离散时间系统均可用常系数线性差分方程描述，其系数和信号变量具有无限精度，可在到+之间取任意值。然而，由于用来存储数据的数字寄存器存在有限长度的限制， 无论是用软件形式在通用计算机上还是用专用硬件形式实现系数，系统参数和输入信号都只能在某一个特定范围内取离散值。这样就必须对结果数据进行量化， 从而导致了实际算法结果与在精度字长的理想情况时得到的结果不同。这就是有限字长效应。滤 波 器 简 介9二、 溢出振荡的产生及其预防二、 溢出振荡的产生及其预防实现数字滤波的两种基本运算是相加（减）和相乘，在定点加法中，以原码表示的两个二进制的加法，类似于两个十进制数的加法。如果两个正

35、二进制小数相加后仍然是二进制小数，则相加的结果是正确的，然而，如果它们的和不再是小数，则称为产生了溢出。如下所示图 2.5 溢出振荡的产生从另一个正二进制数中减去一个正二进制数，或者等效地，把一个正二进制数加到以原码形式表示的负二进制数中，如果减数小于被减数，则相减就会产生正确的差。然而，如果减数大于被减数，那么算术运算会引起溢出。溢出的产生将导致严重的输出变形， 并通常可能在滤波器输出端造成较大的振幅摆动。因此，必须用动态范围内的数代替表示溢出的结果。可以采用数字滤波器的动态范围缩放来完全消除或减少溢出的可能性。通过在数字滤波器的合适点处插入标量乘法器，适当地缩放内部信号量级，可以明显减少溢

36、出的概率。 系统结构中大多数现有的乘法器都具备标量乘法器的功能，因而减少了所需的缩放滤波器的数目。缩放传输函数( )rF z的逆 z 变换是从滤波器输入端到第 r 个节点的脉冲响应 rf n。因此，第 r 个节点变量 ru n可以表示为 rf n和输入 xn的线性卷积：rrkunfkxnk= - =- （2.3.1）用 Holder 不等式可得到更通用的缩放规则：| |rrpqunFX （2.3.2）缩放后传输函数变成了rpF，必须恰当选择缩放常量以满足1,1, 2 ,rpFrR=L （2.3.3）三、 IIR 系统中的极限环振荡现象三、 IIR 系统中的极限环振荡现象 由于寄存器的字长有限，

37、 当存放数字系统中的运算结果时不可避免地要对它们作舍入处理，这样有可能将系统的极点移动到单位圆上，使系统处于临界稳定状态。这种现象即称为极限环振荡（limit cycle）.极限环振荡的幅度范围又称滤 波 器 简 介10为系统输出的“死带（dead-band）”。当然，极限环振荡现象只会出现在 IIR系统中，而不会出现在 FIR 系统中。有两类基本的极限环， （1）粒状， （2）溢出。前一类极限环通常具有低振幅，后一类有大的振幅。（1） 、粒状极限环 在 IIR 中，可观察到两类粒状极限环：不可达到的和可达到的极限环。前一类只在开始的数字滤波器初始条件属于该极限环时才可能出现，而第二类中，即使

38、开始不具备该极限环的初始条件，最后也可以达到极限环条件。（2） 、溢出极限环 类似极限环的振荡可能来自采用有限精度算术实现的数字滤波器的溢出。 溢出振荡的幅度可以覆盖所溢出寄存器的全部动态范围，从本质上说，溢出极限环比粒状极限环更严重。如果滤波器系数在下图所示的稳定性三角形内部的阴影部分， 则不会发生零输入下的溢出极限环，该区域由下面关系定义：12| 1aa+图 2.6 确保没有溢出振荡的二阶直接型无限冲激响应滤波器系数范围（阴影区域）第 4 节 二维数字滤波器的简要介绍第 4 节 二维数字滤波器的简要介绍一、 二维数字滤波器一、 二维数字滤波器与一维滤波器一样，二维滤波器也可以分为 FIR

39、滤波器和 IIR 滤波器，但是它们的传递函数需要用二维 z 变换才能表达。二维信号12( ,)x n n的二维 z 变换12(,)Xzz可定义为1212121212(,)(,)nnnnXzzx nnzz-= - = - = （2.4.1）设线性时不变系统的单位冲激响应为12(,)h nn， 输入信号为12(,)x nn， 输出信号为12(,)y n n，则1212112212(,)(,) (,)mmy n nh nm nmx m m=-=-=- 滤 波 器 简 介1112121122(,) (,)mmh m m x nm nm=-=-=- （2.4.2）利用二维 z 变换，可得12121212

40、12121212(,)(,)(,)(,)(,)nnnnYzzHzzXzzHzzh nnzz-= -= -= （2.4.3）现在如将二维滤波器的传递函数表示为12121122121212(,)(,)NNnnnNnNH zzh nnzz-=-=-= （2.4.4）在有限区间111222(,)NnNNnN-之外，该滤波器的冲激响应为 0.其中1N与2N为适当的正整数。则式（2.4.4）的滤波器是二维 FIR 滤波器。二维FIR 滤波器总是稳定的。现在设11z-和12z-为二维平面上的单位延迟算子，对于任意整数1m与2m，可有1212121122(,)(,)mmzzx n nx nm nm-=- （2

41、.4.5）这时式（2.4.2）的12( ,)y n n可表示为121212( ,)( ,) ( ,)y n nH z zx n n= （2.4.6）其中12( ,)H z z可用式（2.4.4）给出。与一维滤波器同样的方法， 设1212,jjzezeww=， 可以得到二维 FIR 滤波器12( ,)H z z的频率特性：12121122112212(,)(,)NNjjjnjnnNnNH eeh nneewwww-= -= -= （2.4.7）如果1212( ,)(,)h n nhnn=-，12(,)jjH eeww即为实数，这种滤波器称为零相位滤波器（zero-phase filter）.当二

42、维滤波器的传递函数可表示为121211221212112212121212121212( ,)( ,)( ,)(,),(0,0)1(,)NNnnnN nNNNnnnN nNB z zH z zA z zb n n zzaa n n zz-=-=-=-=-= （2.4.8）这种滤波器称为二维 IIR 滤波器。式中12( ,)A z z和12( ,)B z z为既约多项式。滤 波 器 简 介12在 FIR 滤波器或 IIR 滤波器中，传递函数12( ,)H z z可分解为121122(,)()()H z zHz Hz= （2.4.9）12( ,)H z z称为可分离。如果12( ,)X z z也是

43、可分离的，则（2.4.3）的12( ,)Y z z也将是可分离，并满足12112211111122222( ,)( )()( )( )( )()()()Y z zY z Y zY zH z XzY zHzXz=（2.4.10）另外，如果式（2.4.8）的分母多项式可分离为121122( ,)( )()A z zA z A z= （2.4.11）则12( ,)H z z称为分母分离型。如果分子多项式12( ,)B z z也是可分离的，则12( ,)H z z称为完全分离型，此时，可以做式（2.4.9）同样的分离。二、 二维数字滤波器的稳定性二、 二维数字滤波器的稳定性定理 1： 式（2.4.3）

44、的12( ,)H z z稳定的充要条件是单位冲激响应满足1212|(,) |nnh nn=-=- （2.4.12）这里的单位冲激响应定义为1212121,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)n nn nn nd= （2.4.13）定理 2：1212( ,)1/( ,)H z zA z z=稳定的充要条件是，对于满足1| 1z 及2| 1z 的任意1z和2z，应有12( ,)0A z z。定理 3 ：1212( ,)1/( ,)H z zA z z=只有满足下面两个条件时才是稳定的：（1）对于满足1| 1z 及2| 1z =的任意1z和2z，12( ,)0A z z。（2）对于满足1| 1

45、z =及2| 1z 的任意1z和2z，12( ,)0A z z。第 5 节 本章小结第 5 节 本章小结滤波器是对波进行过滤的器件， 实质上是具有频率选择作用的电路或运算处理系统。 滤波器按处理信号的形式和实现滤波方法的不同分为模拟滤波器和数字滤波器，数字滤波器从实现的网络结构或从单位脉冲响应分类，可分为有限脉冲响应（FIR）滤波器和无限脉冲响应（IIR）滤波器。FIR 的系统函数 H(z)在有限 z 平面不存在极点， 在整个频率范围内均可提供精确的线性相位，而且总是 BIBO 稳定。IIR 滤波器含有反馈环路，但易实现窄带频响，且比 FIR 更有效。滤 波 器 简 介13有限字长效应是由于用

46、来存储数据的数字滤波器存在有限字长的限制， 导致实际算法结果与理想情况时的结果不同。二维数字滤波器与一维滤波器类似， 只是他们的传递函数需要用二维 z 变换才能表达。数字滤波器中所采用的常用算法14第 3 章 数字滤波器设计中所采用的常用算法第 3 章 数字滤波器设计中所采用的常用算法在 FIR 滤波器或 IIR 滤波器的设计中通常会用到各种各样流行的现代算法，包括遗传算法 （GA） ,模拟退火算法 （SA） ， 禁忌搜索 （TS） ,蚁群最优化算法 （ACO） ，神经网络算法（NNs）和人工免疫算法（IA）等等，然而，每一种算法都有自己的特点和缺陷，例如 TS 和 SA 算法使用近邻搜索机制

47、的模式，通常依赖于搜索的起始点；ACO 算法的主要特征是分布计算，正反馈和结构性的贪婪搜索等。本文只就研究中所设计到的算法进行介绍和推广。第 2 节 粒子群最优化算法第 2 节 粒子群最优化算法粒字群最优化算法（Particle Swarm Optimization） ，简称 PSO 算法，是从蜂群等的社会行为及最近发展起来的、 随机有效最优化算法中得到灵感而开发出来的。这些昆虫个体的能力都很有限，但它们可以联合起来完成生存中所必需的许多复杂任务。 PSO 算法最早由 Kennedy 和 Eberhart 提出23，主要用于解决多维最优化问题。其突出的优势是编码和参数选择容易，此外，它比复杂的

48、、基于概率的选择和突变运算的进化算法（例如 GA）要更为简单、直观。一、 传统 PSO 算法的实现一、 传统 PSO 算法的实现PSO 算法的理论基础是非常简单的社会认知。基本原则是：对激励源的评价： 表现为正、负、相吸或相斥。评价可能代表了生物体最明显的特征。当生物体能够评价和识别环境特征时，学习就变得切实可行。因而，学习可以定义为有机体改进其对环境一般评价的能力。个体之间的比较： 受文化适应模型和社会心理学理论的启发，适应文化模型用其它个体的模型作为参考。即通过个体之间的比较建立社会参考标准。简单地说，每一个个体将自身与其邻居相比较，只模仿更优者。模仿： 作为自然界中一种相对受限的行为，模

49、仿只在某些动物种类之间才有，这其中包括了人类。模仿是粒子群工作原则的第三个要素，代表了一种非常有效的学习模式。在电脑程序中， 这三个概念的组合使得非常简单的群体能够适用于解决极为复杂的问题。PSO 算法与 GA 算法一样，也是基于种群的进化算法。然而，和遗传算法不同的是，PSO 算法模拟的是社会行为，其流程图如图 3.1 所示：数字滤波器中所采用的常用算法15图 3.1 PSO 算法流程图在 PSO 中，每一个潜在的解答称为一个粒子，有一个位置向量vx和一个速度向量vv。第 i 个粒子的位置和速度分别描述为vLvLii , 1i , 2i , Nii , 1i , 2i , Nx= ( x,

50、x, x)v= ( v, v, v) （3.1.1）其中向量的长度N表示问题的维数或未知变量的数目。在每一个循环中，评价群中所有粒子的适切函数，以反应期望的结果；每一个粒子的位置和速度按照个体最优 pbest 和全局最优 gbest 进行更新，如下：1112211()()nnnnniiiinniiivvcpbestxcgbestxxxtvgbb+=+-+-=+D （3.1.2）式中上标“n+1”和“n”分别表示当前循环和前一次循环。 速度更新公式中的第一项表示粒子的惯性速率；第二项表示每一个粒子的个体经历，称作“认知部分”，最后一项称作“社会部分”，反映个体粒子是如何受其社区中其它成员的影响；