高数1-3无穷小无穷大与极限运算法则.ppt

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1、一、无穷小与无穷大 1、概念 2、性质 二、极限运算法则 1、四则运算 2、复合运算 三、无穷小的比较 1、无穷小的阶及等价无穷小 2、无穷小的等价代换准则,第一章,二、 无穷大,三 、无穷小与无穷大的关系,一、 无穷小,第四节,无穷小与无穷大,一、 无穷小,定义1.若,时,函数,则称函数,为,时的无穷小 .,若,(或 ),例如 :,说明:,除0以外任何很小的常数都不是无穷小 !,因为,当,时,显然 C 只能是 0 !,C,C,则,为,(或 ),时的无穷小 .,其中 为,时的无穷小量 .,定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ),证:,当,时,有,二、 无穷大,定义2.若任给M 0 ,使对

2、一切满足不等式,的x, 总有,则称函数,当,时为无穷大,(正数 X),记作,总存在,1. 无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.,2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,2、函数为无穷大函数一定无界？反之如何？,问题,1、无穷大是很大的数吗？,例如,函数,当,但,不是无穷大 !,例 . 证明,证: 任给正数 M ,要使,即,只要取,则对满足,的一切 x , 有,所以,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线 .,说明:,例 . 证明,渐近线,三、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.,定理2

3、 在自变量的同一变化过程中,结论:,小结,1. 无穷小与无穷大的定义,2. 无穷小与函数极限的关系,3. 无穷小与无穷大的关系,作业与练习,P42 题1# ；2* (1)，(2)；3*，7，8。,第一章,二、 极限的四则运算法则,三、 复合函数的极限运算法则,一 、无穷小运算法则,第五节,极限运算法则,一、 无穷小运算法则,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,例,时, 有,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,定理2.有界函数与

4、无穷小的乘积是无穷小。,推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小。,推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小。,P31页题5,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,证: 设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,即,是,时的无穷小 .,解:,利用定理 2 可知,说明:y = 0是,的渐近线 .,例1. 求,二、 极限的四则运算法则,则,定理3.若,1.,2.,3.,若有B0 , 则,*定理3可推广到有限个函数相加、减、乘、除的情形。,则有,证: 因,则有,(其中,为无穷小),于是,由定理 1 可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理 , 知定理结论成立 .,1.若,2 .

5、若,则有,提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .,证: 因,则有,(其中,为无穷小),为无穷小,(详见P44),3. 若,且 B0 , 则有,证: 因,有,其中,设,无穷小,有界,因此,由极限与无穷小关系定理 , 得,为无穷小,则有,推论 1 .,( C 为常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),例2. 设 n 次多项式,试证,定理4 . 若,则有,提示: 因为数列是一种特殊的函数 ,故此定理 可由,定理3 直接得出结论 .,定理 5 :若,且,则,( P45 定理 5 ),提示: 令,*. 设有分式函数,其中,都是多项式 ,试证:,证:,若,x = 3 时分母为 0 !

6、若,不能直接用商的运算法则 .,3.,4 . 求,解: x = 1 时,分母 = 0 , 分子0 ,但因,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“ 抓大头”,原式,5 .,一般有如下结果：,为非负常数 ),三、 复合函数的极限运算法则,定理6.设,由,复合而成，,在 x0 的某一领域内有定义,证:,当,时, 有,当,时, 有,对上述,取,则当,时,故,因此式成立.,定理6. 设,且 x 满足,时,又,则有,说明: 若定理中,则类似可得,例7. 求,解: 令,已知, 原式 =,例8 . 求,解: 方法 1,则,令, 原式,方法 2,小结,1. 极限运算法则,(1) 无穷小运算法则,(2)

7、 极限四则运算法则,(3) 复合函数极限运算法则,注意使用条件,2. 求函数极限的方法,(1) 分式函数极限求法,时, 用代入法,( 分母不为 0 ),时, 对,型 , 约去公因子,时 , 分子分母同除最高次幂,“ 抓大头”,(2) 复合函数极限求法,设中间变量,思考及练习,1.,是否存在 ? 为什么 ?,答: 不存在 .,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在 ,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,3. 求,解法 1,原式 =,解法 2,令,则,原式 =,4. 试确定常数 a 使,解 :,令,则,故,因此,作业,P49 1 （5），（7），（9），（12），（14） 2 （1），（3） 3 （1） 4,备选题 设,解:,利用前一极限式可令,再利用后一极限式 , 得,可见,是多项式 , 且,求,故,下次课 极限存在准则 重要极限 等价无穷小替换,