第四章：正态分布.ppt

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1、PLAY 第一节正态分布的密度函数 第四章正态分布 第二节正态分布的数字特征 第三节正态分布的线性性质 第四节二维正态分布 第五节中心极限定理 正态分布是实践中应用最为广泛 在理论上研究最多的分布之一 它在概率统计中占有特别重要的地位 比如 考察一群人的身高 个体的身高作为一个随机变量 其取值特点是 在平均身高附近的人较多 特别高和特别矮的人较少 一个班的一次考试成绩 测量误差等均有类似的特征 高斯在研究误差理论时曾用它来刻画误差 因此很多文献中亦称之为高斯分布 进一步的理论研究表明 一个变量如果受到大量独立的因素的影响 无主导因素 则它一般服从正态分布 这是中心极限定理探讨的问题 第一节正态

2、分布的密度函数 式中 为实数 0 则称X服从参数为 2的正态分布 亦称高斯分布 记为N 2 可表为X N 2 图象见右上角 若随机变量X的密度函数为 一 一般正态分布 1 定义 1 单峰对称密度曲线关于直线x 对称f maxf x 正态分布有两个特性 2 的大小直接影响概率的分布 越大 曲线越平坦 越小 曲线越陡峻 正态分布也称为高斯 Gauss 分布 二 标准正态分布 参数 0 2 1的正态分布称为标准正态分布 记作X N 0 1 其密度函数为 分布函数为 1 0 0 5 2 1 3 x 1 x x 一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅 x 的值 P328附表1 如 若X N

3、0 1 0 5 0 6915 P 1 32 X 2 43 2 43 1 32 0 9925 0 9066 一 一般正态分布N 2 正态分布的数字特征 二 标准正态分布N 0 1 若X N 2 0 则有 三 一般正态分布概率的计算 一般地 有 例2 设X N 2 求P 3 X 3 本题结果称为3 原则 在工程应用中 通常认为P X 3 1 忽略 X 3 的值 如在质量控制中 常用标准指标值 3 作两条线 当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报 表明生产出现异常 随机变量标准化 例5一种电子元件的使用寿命 小时 服从正态分布 100 152 某仪器上装有3个这种元件 三个元件损坏与否是相互独

4、立的 求 使用的最初90小时内无一元件损坏的概率 解 设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数 故 则Y B 3 p 其中 一 一般正态分布N 2 第二节正态分布的数字特征 二 标准正态分布N 0 1 例2设X服从N 0 1 分布 求E X2 E X3 为什么 习作题1 设随机变量X N 0 1 Y U 0 1 Z B 5 0 5 且X Y Z独立 求随机变量U 2X 3Y 4Z 1 的数学期望 2设随机变量 相互独立 且均服从 分布 求随机变量 的数学期望 答 答 1 设随机变量X B 12 0 5 Y N 0 1 COV X Y 1 求V 4X 3Y 1与W 2X 4Y的方差与协方差 2 某

5、单位招聘2500人 按考试成绩从高分到低分依次录用 共有10000人报名 假定报名者的考试成绩X服从正态分布现已知90分以上有359人 60分以下的有1151人 求被录用者中的最低分数 作业题 解 Y ax b关于x严单 反函数为 例1设随机变量X服从标准正态分布 求随机变量Y aX b的密度函数 且有 第三节正态分布的线性性质 一 线性性质 直接由Y的密度函数 可观察到Y的数学期望与方差 定理1设随机变量X服从正态分布N 2 则X的线性函数也服从正态分布 且有 例2已知X N 2 求 解 的概率密度 关于x严格单调 反函数为 故 你能用正态分布的线性性质求解吗 二 正态分布的可加性 定理3设

6、随机变量X1 X2 Xn独立且Xi服从正态分布N i i2 i 1 n 则 定理2设随机变量X1 X2相互独立且Xi服从正态分布N i i2 i 1 2 则 例1 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布 求证 Z X Y服从N 0 2 分布 例2 设随机变量X与Y独立 且X N 1 2 Y N 0 1 求证 1 Z 2X Y 3的密度函数 2 P 2 Z 8 其中 1 2为实数 1 0 2 0 1 则称 X Y 服从参数为 1 2 1 2 的二维正态分布 可记为 一 密度函数若随机变量 X Y 的密度函数为 第四节二维正态分布 二 边缘密度函数 为 X Y 关于Y的边缘密度函数 设 X Y

7、f x y x y R2 则称 为 X Y 关于X的边缘密度函数 同理 称 易知N 1 2 12 22 的边缘密度函数fX x 是N 1 12 的密度函数 而fX x 是N 2 22 的密度函数 即二维正态分布的边缘分布也是正态分布 可见 若 X Y 服从二维正态分布 则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关 例设 X Y 服从N 1 0 32 42 0 5 分布 Z X 3 Y 21 求E Z D Z 2 求X与Z的相关系数3 问X与Z是否相互独立 为什么 设 Xn 为随机变量序列 X为随机变量 其对应的分布函数分别为Fn x F x 若在F x 的连续点 有 则称 Xn 依分布收敛于X 可

8、记为 一 依分布收敛 第五节中心极限定理 二 几个常用的中心极限定理 1 独立同分布中心极限定理 Levy Lindeberg 设 Xn 为独立同分布随机变量序列 若EXk DXk 2 k 1 2 则 Xn 满足中心极限定理 根据上述定理 当n充分大时 或者 例1 将一颗骰子连掷100次 则点数之和不少于500的概率是多少 解 设Xk为第k次掷出的点数 k 1 2 100 则X1 X100独立同分布 由中心极限定理 设随机变量 n n 1 2 服从参数为n p 0 p 1 的二项分布 则 2 德莫佛 拉普拉斯中心极限定理 DeMoivre Laplace 证明 设 第i次试验事件A发生 第i次

9、试验事件A不发生 则 由中心极限定理 结论得证 例3在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险 每人每年付12元保险费 在一年内一个人死亡的概率为0 6 死亡时其家属可向保险公司领得1000元 问 1 保险公司亏本的概率有多大 2 其他条件不变 为使保险公司一年的利润不少于60000元 赔偿金至多可设为多少 解设X表示一年内死亡的人数 则X B n p 其中n 10000 p 0 6 设Y表示保险公司一年的利润 Y 10000 12 1000X于是由中心极限定理 1 P Y 0 P 10000 12 1000X 0 1 P X 120 1 7 75 0 例4 卡车装运水泥 设每袋水泥的重量X kg 服从N 50 2 52 分布 该卡车的额定载重量为2000kg 问最多装多少袋水泥 可使卡车超载的概率不超过0 05 解 设最多装n袋水泥 Xi为第i袋水泥的重量 则 令 查表得