第02章 平面问题的基本理论part2.ppt

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1、 2 1平面应力问题与平面应变问题 2 2平面问题中的一点应力状态分析 2 3平面问题的平衡微分方程 2 4平面问题的几何方程与刚体位移 2 5平面问题的物理方程 2 6平面问题的边界条件 2 7圣维南原理及应用 2 8按位移求解平面问题 2 9按应力求解平面问题及相容方程 2 10常体力情况下的简化与应力函数 主要内容 2 2平面问题中一点应力状态分析问题 应力是与作用面有关的 sx sy和txy作为基本未知函数 只是表示一点的坐标平面上的应力分量 左图 而校核强度时需要知道过此点的任意斜面上的应力p 斜面上的应力p可以按坐标轴分解为 px py 也可沿法向和切向分解为正应力sn和和切应力t

2、n 右图 2 2平面问题中一点应力状态分析问题 1 求经过该点 平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面上的应力p 2 求经过该点 平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面上的正应力sn和切应力tn 3 若经过该点的某一斜面上的切应力为0 求此斜面上的主应力s和应力主方向a 4 求经过该点的正应力sn和切应力tn的最大和最小值 一点应力状态分析就是求解任意斜面上的有关应力分量 具体为 已知任一点处坐标面上的应力分量sx sy和txy 求解如下四个问题 2 2平面问题中一点应力状态分析全应力 问题1 已知任一点处坐标面上的应力分量sx sy和txy 求经过该点 平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面

3、上的应力p 取如图所示的微分三角板或三棱柱PAB 当平面AB无限接近于P点时 该平面上的应力即为所求 根据该微分单元的力系平衡条件 在x和y轴方向上合力为0 从而有 2 2平面问题中一点应力状态分析正应力与切应力 问题2 求经过该点 平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面上的正应力和切应力 平面AB上的正应力sn即为上面所求的全应力p向法线方向n的投影 平面AB上的切应力tn即为上面所求的全应力P向切线方向的投影 或 2 2平面问题中一点应力状态分析主应力 问题3 若经过该点的某一斜面上的切应力为0 求此斜面上的主应力s和应力主方向a 设如图所示的斜面上切应力为0 则该面上的全应力等于正应力

4、也等于主应力 于是有 又由于有 2 2平面问题中一点应力状态分析主应力 从而有关于方向余弦l m的线性方程组 有 展开得平面问题的主应力特征方程 由求根公式有 2 2平面问题中一点应力状态分析应力主方向 下面求应力主方向 将所求主应力s2代入第二个方程 两个应力主方向是相互垂直的 将所求主应力s1代入第一个方程 2 2平面问题中一点应力状态分析应力极值 问题4 已知任一点处两个主应力s1和s2 及其应力主方向 可求得经过该点正应力 切应力的最大和最小值 为了分析简便 选取x轴和y轴分别与两个应力主方向一致 则该点的应力分量为sx s1 sy s2 txy 0 先求正应力的极值 上式代入正应力公

5、式 2 4 并利用两个方向余弦平方和为1 得sn s1 s2 l2 s2 由此可知 两个主应力就是正应力的最大和最小值 2 2平面问题中一点应力状态分析应力极值 再求切应力的极值 将sx s1 sy s2 txy 0代入切应力公式 2 5 并利用两个方向余弦的平方和为1 得 由此可知 当l2 0 5 s1 s2时 切应力的最大和最小值如下 其作用平面的法线方向与x轴和y轴成45 角 2 2平面问题中一点应力状态分析总结 已知任一点处坐标面上的应力分量sx sy和txy 可求解如下四个问题 1 任何斜面上的应力p 2 任何斜面上的正应力sn和切应力tn 2 2平面问题中一点应力状态分析总结 4

6、经过该点的正应力sn和切应力tn的最大和最小值 3 主应力s和应力主方向a 2 2平面问题中一点应力状态分析例题 例题 在负载结构中 某点O处的微分平行四面体 单位厚度 各面的应力情况如图所示 平面应力状态 试求 1 主应力的大小及方向 2 沿与水平面成30 倾角的微面上的全应力和正应力 2 1平面应力问题与平面应变问题 2 2平面问题中的一点应力状态分析 2 3平面问题的平衡微分方程 2 4平面问题的几何方程与刚体位移 2 5平面问题的物理方程 2 6平面问题的边界条件 2 7圣维南原理及应用 2 8按位移求解平面问题 2 9按应力求解平面问题及相容方程 2 10常体力情况下的简化与应力函数

7、 主要内容 2 3平面问题的平衡微分方程 平面问题的平衡微分方程是考虑平面问题的静力学条件 根据弹性体内微分单元的静力平衡条件来推导出应力分量与体力分量之间的关系 如图 在弹性体内任一点取一微小的正平行六面体 其x y方向的尺寸分别为dx dy 为计算方便 设它在z方向的尺寸为单位长度1 2 3平面问题的平衡微分方程 由于六面体是微小的 各面上的应力可认为是均匀分布 且作用于对应面的中心 同理 六面体所受的体力也可以认为是均匀分布 且作用于它的体积的中心 一般而论 应力分量是变量x和y的函数 作用于左右两对面或上下两对面的应力分量不完全相同 具有微小的差量 2 3平面问题的平衡微分方程 应用的

8、基本假定 1 连续性假定 应力用连续函数来表示 2 小变形假定 用变形前的尺寸代替变形后的尺寸 2 3平面问题的平衡微分方程 1 分析作用于微分体的力 体力 fx fy 应力 作用于各边上 利用连续性假设 根据Taylor级数展开式 略去高价项 可求出正面上由坐标增量引起的应力增量 2 3平面问题的平衡微分方程 列出平衡条件 合力 应力 面积 体力 体积 以正向物理量来表示 平面问题可列出三个平衡条件 2 3平面问题的平衡微分方程 2 由x轴和y轴两个方向的平面力系的平衡条件 可推导出 平衡微分方程 即 其中一阶微量抵消 并除以dxdy得 由 Fy 0 同理可得 2 3平面问题的平衡微分方程

9、3 由通过中心C点并平行于z轴的直线为转轴 列出力矩的平衡条件 MC 0 即 当dx dy 0时 得切应力互等定理 txy tyx 2 3平面问题的平衡微分方程注意事项 平衡方程反映了弹性体内任意点的平衡条件 应用了两个基本假设 连续性假设 不同面间应力分量采用泰勒级数展开 和小变形假设 受力变形前后微分体尺寸不变 这也是其适用的条件 两类平面问题的平衡微分方程相同 平面应变问题中的正应力sz不影响方程的推导 平面问题的平衡微分方程有2个方程 但包含有3个未知函数 应力 只根据静力学条件无法求解 要想求解 还必须考虑几何学和物理学方面的条件 2 3平面问题的平衡微分方程注意事项 1 理论力学考

10、虑整体V的平衡 只决定整体的运动状态 2 材料力学考虑有限大部分 V的平衡 近似 3 弹性力学考虑微分体dV的平衡 精确 当dV均平衡时 能保证 V V平衡 反之则不然 所以弹性力学的平衡条件是严格的 精确的 平衡条件比较 2 3平面问题的平衡微分方程思考题 思考题 1 试检查 平衡微分方程同一方程中的各项 其量纲必然相同 可用来检验方程的正确性 2 将条件 MC 0 改为对某一角点的 将得出什么结果 2 3平面问题的平衡微分方程例题 例 如图所示单位宽度薄板悬梁 跨度为l 其上表面承受三角形分布载荷作用 体力不计 试根据材料力学中的应力表达式 由平衡微分方程导出另两个应力分量 2 3平面问题的平衡微分方程例题 解 1 将sx代入平衡微分方程第一式 2 将txy代入平衡微分方程第二式