第02章 平面问题的基本理论part5.ppt

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1、 2 1平面应力问题与平面应变问题 2 2平面问题中的一点应力状态分析 2 3平面问题的平衡微分方程 2 4平面问题的几何方程与刚体位移 2 5平面问题的物理方程 2 6平面问题的边界条件 2 7圣维南原理及应用 2 8按位移求解平面问题 2 9按应力求解平面问题及相容方程 2 10常体力情况下的简化与应力函数 主要内容 2 8按位移求解平面问题 平衡微分方程 2个 两类问题完全相同几何方程 3个 两类问题完全相同物理方程 3个 两类问题不同 只需对系数作替换未知函数 3个应力分量 3个应变分量 2个位移分量边界条件 8个方程是弹性体内部必须满足的条件 而在边界上则必须满足边界条件 应力 位移

2、 混合 平面问题的基本方程与未知物理量 2 8按位移求解平面问题 按位移求解 以2个位移分量 u v 为基本未知函数 从基本方程和边界条件中消去应力分量和应变分量 导出只含位移分量的基本方程和边界条件 由此解出位移分量 然后根据几何方程和物理方程求应变分量和应力分量 按应力求解 以3个应力分量 sx sy txy 为基本未知函数 从基本方程和边界条件中消去位移分量和应变分量 导出只含应力分量的基本方程和边界条件 由此解出应力分量 然后根据物理方程和几何方程求应变分量和位移分量 求解方法 未知函数及方程较多 难于求解 通常采用消元法 又可分为 按位移求解和按应力求解 2 8按位移求解平面问题具体

3、过程 按位移求解 以2个位移分量u和v为基本未知函数 为了消元 其它6个未知函数须用u和v表示 1 将应变分量用u和v表示 直接采用几何方程 2 为了将应力分量用u和v表示 将几何方程代入用应变表示的物理方程 以平面应力问题为例 式 2 8 2 8按位移求解平面问题具体过程 3 推导求位移分量的方程 将公式 2 17 代入平衡微分方程 得到用u和v表示的平衡微分方程 即为求解位移的基本方程 4 推导用位移表示的边界条件 将公式 2 17 代入应力边界条件 得到用u和v表示的应力边界条件 位移边界条件 式 2 14 2 8按位移求解平面问题总结 总结 平面应力问题按位移求解的方法 就是使位移分量

4、u和v满足如下条件 1 在区域内满足用位移表示的平衡微分方程 2 18 2 在边界上满足用位移表示的应力边界条件 2 19 或位移边界条件 2 14 求解出位移分量u和v后 代入几何方程 2 8 求应变分量 代入方程 2 17 求应力分量 将平面应力问题各方程中的E和m作如下替换 可得平面应变问题的位移法求解方程和边界条件 或者 将平面应力问题的解答中的E和m作同样的替换 得到平面应变问题的解答 2 8按位移求解平面问题总结 平面应力问题按位移求解时 方程 2 18 2 19 和 2 14 是求解位移分量u和v的条件 也是校核位移u和v是否正确的条件 对于已求得的解答 可以用这些条件进行校核

5、优缺点 1 适用性广 能适应各种边界条件 2 求函数式解答困难 位移法的方程和边界条件仍很复杂 求解困难 得出的函数式解答很少 但它在各种近似解法 变分法 差分法和有限元法 中有广泛的应用 2 8按位移求解平面问题例题 1 将问题作为一维问题处理 有u 0 v v y 泊松比m 0 代入用位移表示的平衡微分方程 2 18 第一式自然满足 第二式变为 例 设如图 a 所示的杆件 在y方向的上端固定 下端自由 受自重体力fx 0 fy rg r为杆的密度 g为重力加速度 的作用 试用位移法求解此问题 求解上述常微分方程 积分得 2 8按位移求解平面问题例题 2 根据边界条件来确定常数A和B 3 代

6、入几何方程 2 8 求应变ey 并将它代入用位移表示的物理方程 2 17 求应力sy 上下边的边界条件为 v y y 0 0和sy y h 0分别代入位移函数及式 2 17 的第二式 可求得待定常数A rgh E和B 0 从而有 2 8按位移求解平面问题思考题 试用位移法求解图 b 的位移与应力 2 1平面应力问题与平面应变问题 2 2平面问题中的一点应力状态分析 2 3平面问题的平衡微分方程 2 4平面问题的几何方程与刚体位移 2 5平面问题的物理方程 2 6平面问题的边界条件 2 7圣维南原理及应用 2 8按位移求解平面问题 2 9按应力求解平面问题及相容方程 2 10常体力情况下的简化与

7、应力函数 主要内容 2 9按应力求解平面问题具体过程 按应力求解 以3个应力分量sx sy txy为基本未知函数 其它未知函数都用应力分量表示 形变用应力表示时可直接利用物理方程 对于位移 要想用应力表示 必须通过积分 不仅表达式复杂 且积分会带来未定项 使得位移边界条件用应力表示时既复杂又难于求解 因此此类方法通常只考虑边界条件全部为应力边界条件的问题 1 两个平衡微分方程中只有应力分量 可作为求解应力分量的基本方程 上述平衡微分方程中未知的应力分量3个 而方程数只有2个 因此缺少一个方程 还不足以求出应力分量 2 9按应力求解平面问题具体过程 消去位移分量 由几何方程消法位移分量 从而得到

8、平面问题的变形协调方程 相容方程 变形协调方程的物理意义 1 是连续体中位移连续性的必然结果2 是形变所对应的位移存在且连续的必要条件 否则变形后会发生重叠或裂缝 2 补充方程 从几何方程和物理方程中消去位移分量和应变分量 导出1个只包含应力分量的补充方程 变形协调方程是形变分量解答是否合理的校核条件 2 9按应力求解平面问题具体过程 消去应变分量 将物理方程代入变形协调方程来消去应变分量 并利用平衡微分方程进行简化 从而得到用应力表示的变形协调方程 以平面应力问题为例 对于平面应变问题 可以进行相同的推导过程 也可以将上式中的m作如下替换 得到一个相似的方程 2 22 式 2 21 对于应力

9、边界条件 不用作任何处理 直接利用式 2 15 式 2 22 2 9按应力求解平面问题总结 归纳起来 平面问题按应力求解时 应力分量sx sy txy必须满足下列条件 1 在区域内满足平面问题的平衡微分方程 2 2 2 在区域内满足用应力表示的变形协调方程 2 21 或 2 22 3 在边界上满足应力边界条件 2 15 其中假设只求解边界条件全部为应力边界条件的问题 4 对于多连体 还须考虑位移的单值条件 位移必须为单值 上述4个条件是求解应力的全部条件 也是校核应力是否正确的全部条件 对于已有的应力解答 可利用这些条件来进行校核 2 9按应力求解平面问题总结 将平面应力问题各方程中的E和m作

10、如下替换 可得平面应变问题的应力法求解方程和边界条件 或者将平面应力问题的解答中的E和m作同样的替换 得到平面应变问题的解答 求得应力分量sx sy txy后 代入物理方程 2 12 求应变分量 将应变分量代入几何方程 2 8 通过积分求位移分量 其中的积分待定项由边界约束条件来确定 2 9按应力求解平面问题例题 例 试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在 ex Ay2 ey Bx2y gxy Cxy 解 应变分量存在的必要条件是满足应变的变形协调方程 代入上式 可知须满足的条件为 B 0 2A C 2 9按应力求解平面问题例题 例题 在无体力的情况下 试考虑下列平面问题的应力分量是否可能存

11、在 sx A x2 y2 sy B x2 y2 txy Cxy 解 弹性体的应力 在单连体中必须满足 1 平衡微分方程 2 应力表示的相容方程 3 应力边界条件 1 为了满足平衡微分方程 代入可得 A B C 2 2 为了满足相容方程 代入可得 A B 0 显然上述两组条件是矛盾的 故此组应力分量不存在 2 1平面应力问题与平面应变问题 2 2平面问题中的一点应力状态分析 2 3平面问题的平衡微分方程 2 4平面问题的几何方程与刚体位移 2 5平面问题的物理方程 2 6平面问题的边界条件 2 7圣维南原理及应用 2 8按位移求解平面问题 2 9按应力求解平面问题及相容方程 2 10常体力情况下

12、的简化与应力函数 主要内容 2 10常体力情况下的简化及应力函数 当实际工程问题中体力为常量 即体力分量fx fy不随x和y座标改变时 如重力和常加速度平移时的惯性力 此时 两类平面问题的都能得到简化 将上述条件代入式 2 21 或 2 22 得常体力时的相容方程 此外 还满足平衡微分方程 和应力边界条件 2 23 2 10常体力情况下的简化及应力函数 体力为常量时 按应力法求解平面问题时 应力分量sx sy txy满足的方程为 1 平衡微分方程 2 2 2 简化后的相容方程 2 23 3 同时在边界上满足应力边界条件 2 15 4 对于多连体 还须考虑位移的单值条件 在 1 常体力 2 单连

13、体 3 全部为应力边界条件时 平面问题的应力解具有如下特征 在 条件下求解应力分量的全部条件中均不包含弹性常数 故应力分量解与弹性常数无关 2 10常体力情况下的简化及应力函数 由于应力解与弹性常数无关 故对于两类平面问题都相同 因此 当体力为常量 只要弹性体受外力和边界形状相同 则 1 不同材料的应力解理论上是相同的 因此用试验方法求应力时可用不同材料来代替 2 两类平面问题的应力解sx sy txy是相同的 试验时可用平面应力模型代替平面应变模型 3 两类平面问题应力解sx sy txy相同 但是sz和应变 位移分量的分布不一定相同 2 10常体力情况下的简化及应力函数应力函数 1 首先考

14、察平衡微分方程 它是一个非齐次微分方程组 其解包含两部分 即其全解等于非齐次微分方程的特解与齐次微分方程的通解的叠加 1 非齐次微分方程的特解 下面详细讨论常体力情况下按应力求解的基本方程和条件 2 10常体力情况下的简化及应力函数应力函数 2 齐次微分方程的通解 艾里已经求出该方程的通解为 2 10常体力情况下的简化及应力函数应力函数 3 所以满足平衡微分方程的全解为 任一组特解与通解的叠加 式中f称为平面问题的应力函数 又称为艾里应力函数 它是一个待定的未知函数 必然满足平衡微分方程 导出应力函数的过程已证明了其存在性 它使得按应力求解平面问题的未知数由3个减少为1个 由求解应力分量sx

15、sy txy转化为求解应力函数f 2 10常体力情况下的简化及应力函数应力函数 2 为了求解平面问题的应力函数 下面来分析应力函数所满足的条件 很显然 用应力函数表示的应力分量 2 24 必须满足常体力情况下用应力分量表示的相容方程 2 23 为此将式 2 24 代入 2 23 用应力函数表示的相容方程 2 10常体力情况下的简化及应力函数总结 总之 体力为常量时 按应力法求解平面问题 可转化为求解一个应力函数f 它应当满足条件为 1 在区域内满足应力函数表示的相容方程 2 25 2 在边界上满足应力边界条件 2 15 其中假设只求解全部为应力边界条件的问题 3 对于多连体 还须考虑位移的单值条件 相容方程 应力边界条件 2 10常体力情况下的简化及应力函数总结 根据上述条件求得应力函数f后 代入公式 2 24 即可求出应力分量 求得应力分量sx sy txy后 代入物理方程 2 12 求应变分量 将应变分量代入几何方程 2 8 通过积分求位移分量 其中的积分待定项由边界约束条件来确定