北京各区近三年模拟考试典型题.doc

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1、12（2015天水）在平面直角坐标系中，已知y=x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由12（2015天水）在平面直角坐标系中，已知y=x2+bx+c（b、c

2、为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）如答题图2

3、设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离时，到达P，作PMy轴，PMx轴，交于M点，根据直线AC的斜率求得PPM是等腰直角三角形，进而求得抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，从而求得平移后的解析式，进而求得与x轴的交点，与直线AC的交点，即可证得结论；（3）如答图3所示，作点B关于直线AC的对称点B，由分析可知，当B、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段BF的长度【解答】解：（1）等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，1），C的坐标为（4，3）点B的坐标为（4，1）抛物线过A（0，1），B（4，1）两点，解得：b=2，c=1，抛物线的函数表达式为：y=x2+2

4、x1（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离时，到达P，作PMy轴，PMx轴，交于M点，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），直线AC的解析式为y=x1，直线的斜率为1，PPM是等腰直角三角形，PP=，PM=PM=1，抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，y=x2+2x1=（x2）2+1，平移后的抛物线的解析式为y=（x3）2+2，令y=0，则0=（x3）2+2，解得x1=1，x=52，平移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），解，得或平移后的抛物线与AC的交点为（1，0），平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（1，0）（3）如答图3，取点B关于

5、AC的对称点B， 易得点B的坐标为（0，3），BQ=BQ，取AB中点F，连接QF，FN，QB，易得FNPQ，且FN=PQ，四边形PQFN为平行四边形NP=FQNP+BQ=FQ+BQFB=2当B、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2【点评】本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称最短路线问题等知识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大30（2015珠海）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示

6、的平面直角坐标系，抛物线l：y=x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F（1）求证：ABDODE；（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MFBD；（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PDDQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【解答】（1）证明：四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知BCEBDE，BDE=BCE=90，BAD=90，EDO+BDA=BDA+DAB=90，EDO=DBA，且EOD=BAD=90，ABDODE；（2）证明：=，设OD=4x，OE=3x，则

7、DE=5x，CE=DE=5x，AB=OC=CE+OE=8x，又ABDODE，=，DA=6x，BC=OA=10x，在RtBCE中，由勾股定理可得BE2=BC2+CE2，即（5）2=（10x）2+（5x）2，解得x=1，OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，抛物线解析式为y=x2+x+3，当x=10时，代入可得y=，AF=，BF=ABAF=8=，在RtAFD中，由勾股定理可得DF=，BF=DF，又M为RtBDE斜边上的中点，MD=MB，MF为线段BD的垂直平分线，MFBD；（3）解：由（2）可知抛物线解析式为y=x2+x+3，设抛物线与x轴的两个交点为H、G，令y=0，可得0=x2+

8、x+3，解得x=4或x=12，H（4，0），G（12，0），当PDx轴时，由于PD=8，DM=DN=8，故点Q的坐标为（4，0）或（12，0）时，PDQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形；当PD不垂直与x轴时，分别过P，Q作x轴的垂线，垂足分别为N，I，则Q不与G重合，从而I不与G重合，即DI8PDDQ，QDI=90PDN=DPN，RtPDNRtDQI，PN=8，PNDI，RtPDN与RtDQI不全等，PDDQ，另一侧同理PDDQ综合，所有满足题设条件的点Q的坐标为（4，0）或（12，0）【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、垂直平分线的判定

9、和抛物线与坐标轴的交点等知识在（1）中利用折叠的性质得到EDB=90是解题的关键，在（2）中，求得E、F的坐标，求得相应线段的长是解题的关键，在（3）中确定出Q点的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性很强，难度适中28在正方形中，点是射线上一个动点，连接，点，分别为，的中点，连接交于点（1）如图1，当点与点重合时，的形状是_；（2）当点在线段的延长线上时，如图2 依题意补全图2； 判断的形状，并加以证明；（3）点与点关于直线对称，且点在线段上，连接，若点恰好在直线上，正方形的边长为2，请写出求此时长的思路（可以不写出计算结果） 图1 图2 图324将绕点顺时针旋转得到，的延长线与相交于点

10、 ，连接（1）如图1，若=，请直接写出与的数量 关系；（2）如图2，若=，猜想线段与的数量关 系，并证明你的猜想；（3）如图3，若，（为常数），请直接写出的值 （用含、的式子表示）图1图1图1 图2 图3解： 24. 解：（1）; 1分 （2）解：猜想：. 证明：在上截取，连接（如图）. 由旋转得， .，. .是等边三角形.又.5分（3） 7分25在平面直角坐标系xoy中，射线l:.点A是第一象限内一定点，射线OA与射线l的夹角为30.射线l上有一动点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线l匀速运动，同时x轴上有一动点Q从点O出发，以相同的速度沿x轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒. （1

11、用含t的代数式表示PQ的长. （2）若当P、Q运动某一时刻时，点A恰巧在线段PQ上，求出此时的t值. （3）定义M抛物线：顶点为P，且经过Q点的抛物线叫做“M抛物线”.若当P、Q运动t秒时，将PQA绕其某边中点旋转180后，三个对应顶点恰好都落在“M抛物线”上，求此时t的值.解：（1）备用图1备用图2 备用图（2）（3）25. 解：（1）由射线l解析式为POQ=60. 1分 P，Q运动速度相同OPQ是等边三角形 2分（2）由题意： ， ，解法一：代数法，直线PQ解析式为 3分由于 A，P，Q三点共线，将代入得：故 秒4分解法二：几何法过点A作ABx轴于B则在RtABQ中，ABQ=90，AQB

12、60， 3分OQ=OB+BQ=8秒4分(3)由抛物线的对称性知：抛物线经过P、Q 、O三点，不妨设：抛物线M的解析式为将代入可得抛物线的解析式为： 5分显然：PQA绕PQ中点旋转180后，三个对应顶点在抛物线上 6分设A的对应点为A四边形PAQA是平行四边形， 7分将代入抛物线 或 当经过秒或秒时，PQA绕PQ中点旋转180后，三个对应顶点在“M抛物线”上. 8分19如图1，在OAB中，OAB=90，AOB=30，BA=2以OB为边，向外作等边OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；图1图2（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点

13、A重合，折痕为FG，求OG的长OGABCF19. （1）证明：在RtOAB中， D为OB的中点DO=DA DAO=DOA =30, EOA=90 AEO =60又OBC为等边三角形BCO=AEO =60 BCAE .1分BAO=COA =90OCAB 四边形ABCE是平行四边形 .2分（2）解：在RtABO中OAB =90，AOB =30，AB=2OA=ABtan60=2= .3分在RtOAG中，设OG=，由折叠可知：AG=GC=，可得 4分解得， OG= .5分24.如图1，在中，A=30，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF（1）线段与的位置关系是_， _（2）如图2，当绕点顺时针

14、旋转时（），连结AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由图3图2（3）如图3，当绕点顺时针旋转时（），延长交于点，如果，求旋转角的度数图124.解：（1）互相垂直；2分（2）答：（1）中结论仍然成立.3分 证明：点E，F分别是线段BC，AC的中点， EC=，FC= 4分 延长BE交AC于点O，交AF于点M BOC=AOM，1=2 BCO=AMO=90 BEAF5分（3）ACB=90，BC=2，A=30 AB=4，B=60 过点D作DHBC于H DB= ， 又 CH=BH6分 HCD=45 DCA=45 7分25.如图，经过原点的抛物线（）与x轴的另一交点

15、为A，过点P（1，）作直线PNx轴于点N，交抛物线于点B.点B关于抛物线对称轴的对称点为C.连结CB，CP.（1）当b=4时，求点A的坐标及BC的长；（2）连结CA，求b的适当的值，使得CACP；（3）当b=6时，如图2，将CBP绕着点C按逆时针方向旋转，得到C B P ，CP与抛物线对称轴的交点为E，点M为线段B P（包含端点）上任意一点，请直接写出线段EM长度的取值范围.图1图225.解： （1）在中，令y=0， 得 A（4,0）1分 令x=1，得y=3 B（1,3） 对称轴 C（3,3） BC=22分 （2）过点C作CDx轴于点D 1=2 又CBP=CDA=90 CBPCDA 3分 在中

16、 令x=1，则y=b-1 B（1，b-1） 又对称轴 BC= C（b-1，b-1）4分 CD=b-1,BC=b-2,DA=ON=1，BP= b=35分 （3） 8分2在ABC中，AB=AC，AD，CE分别平分BAC和ACB，且AD与CE交于点M点N在射线AD上，且NA=NC过点N作NFCE于点G，且与AC交于点F，再过点F作FHCE，且与AB交于点H(1) 如图1，当BAC=60时，点M，N，G重合请根据题目要求在图1中补全图形；连结EF，HM，则EF与HM的数量关系是_；(2) 如图2，当BAC=120时，求证：AF=EH；图1图2备用图(3) 当BAC=36时，我们称ABC为“黄金三角形

17、此时若EH=4，直接写出GM的长图12解：(1)补全图形见图1， 1分 EF与HM的数量关系是EF=HM ； 2分 (2)连接MF（如图2）. AD，CE分别平分BAC和ACB，且BAC=120， 1=2=60，3=4. AB=AC，图2 ADBC. NGEC， MDC =NGM =90. 4+6=90，5+6=90.4=5.3=5. NA=NC，2=60，ANC是等边三角形.AN=AC. 在AFN和AMC中， AFNAMC. 3分AF=AM.AMF是等边三角形.AF=FM，7=60.7=1.FMAE.FHCE，四边形FHEM是平行四边形. 4分EH=FM.AF=EH. 5分 (3) GM

18、的长为. 7分3如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线和抛物线W交于A，B两点，其中点A是抛物线W的顶点当点A在直线上运动时，抛物线W随点A作平移运动在抛物线平移的过程中，线段AB的长度保持不变 图1 应用上面的结论，解决下列问题： 如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知直线点A是直线上的一个动点，且点A的横坐标为以A为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点B (1) 当时，求抛物线的解析式和AB的长；(2) 当点B到直线OA的距离达到最大时，直接写出此时点A的坐标； (3) 过点A作垂直于轴的直线交直线于点C以C为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点D 当ACBD时，求的值；若以A，B，C，D为顶

19、点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的的取值范围图2备用图3解：(1) 点A在直线上，且点A的横坐标为0，点A的坐标为.抛物线的解析式为. 1分点B在直线上，设点B的坐标为.点B在抛物线:上，.解得或.点A与点B不重合，点B的坐标为. 2分由勾股定理得AB=. 3分 (2) 点A的坐标为. 4分 (3) 方法一：设AC，BD交于点E，直线分别与轴、轴交于点P和Q（如图1）.则点P和点Q的坐标分别为， .图1OP=OQ=2.OPQ =45.AC轴，AC轴.EAB =OPQ =45.DEA =AEB=90，AB =，EA=EB =1.点A在直线上，且点A的横坐标为，点A的坐标为.点B的坐标为.

20、 AC轴，点C的纵坐标为. 点C在直线上，点C的坐标为. 抛物线的解析式为. BDAC，点D的横坐标为.点D在直线上，点D的坐标为. 5分点D在抛物线：上，.解得或. 当时，点C与点D重合，. 6分图2 方法二：设直线与轴交于点P，过点A作轴的平行线，过点B作轴的平行线，交于点N.（如图2）则ANB=90，ABN=OPB.在ABN中，BN=ABcosABN，AN=ABsinABN.在抛物线随顶点A平移的过程中，AB的长度不变，ABN的大小不变，BN和AN的长度也不变，即点A与点B的横坐标的差以及纵坐标的差都保持不变.同理，点C与点D的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变.由(1)知当点A的坐标为

21、时，点B的坐标为，当点A的坐标为时，点B的坐标为. AC轴，点C的纵坐标为. 点C在直线上，点C的坐标为. 令，则点C的坐标为. 抛物线的解析式为. 点D在直线上，设点D的坐标为. 点D在抛物线：上，.解得或.点C与点D不重合，点D的坐标为.当点C的坐标为时，点D的坐标为.当点C的坐标为时，点D的坐标为. 5分BDAC，. 6分的取值范围是或. 8分说明：设直线与交于点M.随着点A从左向右运动，从点D与点M重合，到点B与点M重合的过程中，以A，B，C，D为顶点构成的图形不是凸四边形.6. 在平面直角坐标系xOy中，点的坐标是，过点作直线垂直轴，点是直线上异于点的一点，且.过点作直线的垂线，点在

22、直线上，且在直线的下方，.设点的坐标为.（1）判断的形状，并加以证明；（2）直接写出与的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；（3）延长交（2）中所求函数的图象于点.求证：.6解：（1）为等腰三角形-1分证明：如图1，图2 为等腰三角形-2分（2）与的函数关系式为-4分（3）过作于，于交直线于. 为抛物线上异于顶点的任意一点，且， -5分设，,图3则，.当点在轴下方时，如图2,.， 图 4.-7分当点在轴上方时，如图3,，.同理可证. 当点在轴上时，如图4,.综上所述，.-8分15.已知抛物线的最低点A的纵坐标是3，直线经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C.（1）求抛物线与直线AB的解析

23、式.（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sinBDE的值.（3）过B点作x轴的平行线BG,点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6，设点N在直线BG上，请你直接写出使得AMB+ANB=450的点N的坐标.第25题图 15. 解：（1）抛物线的对称轴x=1 且抛物线的最低点A的纵坐标是3抛物线的顶点为A（1，3） m=3或m=2,3-m0， m=2, -1分 直线为 抛物线的解析式为： -2分 直线AB为:y=2x+1； -3分（2）令x=0,则y=1, ）令y=0,则x=,B（0,1），C（-，0）将直线AB绕O点顺时针旋转900，设DE与BC交于点F

24、D(1,0),E(0, ) -4分OB=OD=1 OC=, CD= -5分 SinBDE= -6分 (3) -8分门头沟16 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点O， 点B(2,n)在这条抛物线上.（1）求抛物线的解析式；（2）将直线沿y轴向下平移b个单位后得到直线l， 若直线l经过B点，求n、b的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，直线l与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E.若P是抛物线上一点，且PB=PE，求P点的坐标.xy11O16解：（1）拋物线经过原点，m2-6m+8=0解得m1=2，m2=4ABCOExyx=2GFH 由题意知m4，m=21分拋物线

25、的解析式为 2分（2）点B(-2,n)在拋物线上， n=33分B点的坐标为(2，3) 直线l的解析式为，直线l经过B点，4分（3）拋物线的对称轴为直线x=2，直线l的解析式为y=-2x-1，拋物线的对称轴与x轴的交点C的坐标为(2,0)，直线l与y轴、直线x=2的交点坐标分别为 D(0,-1)、E(2,-5). 过点B作BG直线x=2于G，与y轴交于F. 则BG=4. 在RtBGC中，.CE=5， CB=CE. 过点E作EHy轴于H.则点H的坐标为 (0,-5).点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，FD=DH=4，BF=EH=2，BFD=EHD=90.DFBDHE . DB=DE.

26、PB=PE，点P在直线CD上.符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.设直线CD的解析式为y=kx+a. 将D(0,-1)、C(2,0)代入，得 解得 直线CD的解析式为. 5分设点P的坐标为(x，)，=. 解得 ，. ，.点P的坐标为(，)或(，).7分石景山28如图，抛物线过点A（1，0），B（3，0），其对称轴与x轴的交点为C, 反比例函数（x0，k是常数）的图象经过抛物线的顶点D （1）求抛物线和反比例函数的解析式yxO （2）在线段DC上任取一点E，过点E作轴平行线，交y轴于点F、交双曲线于点G，联结DF、DG、FC、GC若DFG的面积为4，求点G的坐标；判断直线FC和DG的位置关

27、系，请说明理由；当DF=GC时，求直线DG的函数解析式解：28解：（1）抛物线过点A（-1，0），B（3，0） 解得： 抛物线的解析式为 顶点函数，是常数）图象经过， 2分（2）设G点的坐标为，据题意，可得E点的坐标为，F点的坐标为， ， 由的面积为4，即，得，点G的坐标为 3分 直线FC和DG平行.理由如下： 方法1：利用相似三角形的性质. 据题意，点的坐标为， ，易得， ， 5分 方法2：利用正切值. 据题意，点的坐标为， ，易得， ， 解：方法1： ，当时，有两种情况： 当时，四边形是平行四边形， 由上题得，得 点G的坐标是（2，2） 设直线的函数解析式为，把点的坐标代入， 得解得 直线

28、的函数解析式是 6分 当FD与CG所在直线不平行时，四边形是等腰梯形， 则，点G的坐标是（4，1） 设直线的函数解析式为，把点的坐标代入， 得解得 直线的函数解析式是 7分 综上所述，所求直线的函数解析式是或方法2.在RtDFE中，在RtGEC中， 解方程得：或当时，点G的坐标是（2，2）设直线的函数解析式为，把点的坐标代入，得解得直线的函数解析式是当时，点G的坐标是（4，1）设直线的函数解析式为，把点的坐标代入，得解得直线的函数解析式是综上所述，所求直线的函数解析式是或 28.ABC中，AB=AC取BC边的中点D，作DEAC于点E，取DE的中点F，连接BE，AF交于点H （1）如图1，如果，

29、那么 ， ； （2）如图2，如果，猜想的度数和的值，并证明你的结论； （3）如果，那么 （用含的表达式表示）28解：（1）90， 2分 （2）结论：，证明：如图8，连接AD AB=AC，BAC=60， ABC是等边三角形 D为BC的中点， ADBC图8 1+2=90又 DEAC， DEC=90 2+C=90 1=C=60设AB=BC=k（），则， F为DE的中点， ， 3分又 1=C， ADFBCE 4分 ， 5分3=4又 4+5=90，5=6， 3+6=90 6分 （3）7分 注：写或其他答案相应给分28在菱形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线，交的延长线于点（1

30、依题意补全图形； 备用图 （2）求证：； （3）用等式表示线段，之间的数量关系：_28. (本小题满分7分)（1）补全图形，如图1所示1分图1 图2（2）方法一：证明：连接BE，如图2四边形ABCD是菱形，ADBC，是菱形ABCD的对角线， 2分由菱形的对称性可知，3分 ，4分在与中， 5分方法二：证明：连接BE，设BG与EC交于点H，如图3 四边形ABCD是菱形，ADBC，是菱形ABCD的对角线， 2分由菱形的对称性可知，3分， 图3 4分在与中， 5分（3） 7分27. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）,B（1，0），顶点为C.(1) 求抛物线的表达式和顶点坐

31、标；(2) 过点C作CHx轴于点H，若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQAC于点Q，当PCQ与ACH相似时，求点P的坐标.ABHCABHC27.抛物线的解析式为y=-x2-2x+3 2分顶点C的坐标为（-1，4） 3分（2）若点P在对称轴右侧（如图），只能是PCQCAH，得QCP=CAH.延长CP交x轴于M，AM=CM，AM2=CM2.设M（m，0），则( m+3)2=42+(m+1)2，m=2，即M（2，0）.设直线CM的解析式为y=k1x+b1，则， 解之得，.直线CM的解析式.4分，解得， (舍去). . 5分若点P在对称轴左侧（如图），只能是PCQACH，得PCQ=ACH.过A作CA的垂线交PC于点F，作FNx轴于点N. 由CFACAH得，由FNAAHC得. , 点F坐标为（-5,1）. 设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则，解