无穷小量与无穷大量 阶的比较.ppt

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1、3 5无穷小量与无穷大量 本节讨论极限的求法 利用极限的定义 从变量的变化趋势来观察函数的极限 对于比较复杂的函数难于实现 为此需要介绍极限的运算法则 首先来介绍无穷小 一 无穷小 在实际应用中 经常会遇到极限为0的变量 对于这种变量不仅具有实际意义 而且更具有理论价值 值得我们单独给出定义 1 定义 极限为零的变量称为无穷小 例如 注意 1 称函数为无穷小 必须指明自变量的变化过程 2 无穷小是变量 不能与很小的数混淆 3 零是可以作为无穷小的唯一的数 2 无穷小与函数极限的关系 证 必要性 充分性 意义 1 将一般极限问题转化为特殊极限问题 无穷小 3 无穷小的运算性质 定理2在同一过程中

2、 有限个无穷小的代数和仍是无穷小 证 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证 推论1在同一过程中 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小 都是无穷小 二 无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大 特殊情形 正无穷大 负无穷大 注意 1 无穷大是变量 不能与很大的数混淆 3 无穷大是一种特殊的无界变量 但是无界变量未必是无穷大 无界 不是无穷大 证 三 无穷小与无穷大的关系 定理4在同一过程中 无穷大的倒数为无穷小 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大 证 意义关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷

3、小的讨论 极限运算法则的证明 定理 证 由无穷小运算法则 得 有界 注 此定理对于数列同样成立 此定理证明的基本原则 1 2 可推广到任意有限个具有极限的函数 2 有两个重要的推论 四 无穷小的比较 例如 观察各极限 不可比 极限不同 反映了趋向于零的 快慢 程度不同 定义 例1 解 例2 解 常用等价无穷小 注 上述10个等价无穷小 包括反 对 幂 指 三 必须熟练掌握 用等价无穷小可给出函数的近似表达式 一般地有 即 与 等价 与 互为主要部分 例如 补充 高阶无穷小的运算规律 五 等价无穷小替换 定理 等价无穷小替换定理 证 意义 求两个无穷小之比的极限时 可将其中的分子或分母或乘积因子

4、中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替 以简化计算 具体代换时 可只代换分子 也可只代换分母 或者分子分母同时代换 例3 解 注意 不能滥用等价无穷小代换 对于代数和中各无穷小不能分别替换 等价关系具有 自反性 对称性 传递性 例4 解 错 解 例5 解 例6求 解一 解二 解三 例7求 解 关于1 型极限的求法 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1 主要内容 两个定义 四个定理 三个推论 2 几点注意 1 无穷小 大 是变量 不能与很小 大 的数混淆 零是唯一的无穷小的数 2 无穷多个无穷小的代数和 乘积 未必是无穷小 3 无界变量未必是无穷大 六 小结 3 无穷小的比较 反映了同一过程中 两无穷小趋于零的速度快慢 但并不是所有的无穷小都可进行比较 高 低 阶无穷小 等价无穷小 无穷小的阶 4 等价无穷小的替换 求极限的又一种方法 注意适用条件 作业 P66 1 2 3 5 6 思考题1 思考题2 在某个过程中 若有极限 无极限 那么是否有极限 为什么 思考题1解答 不能保证 例 有 思考题2解答 没有极限 假设有极限 有极限 由极限运算法则可知 必有极限 与已知矛盾 故假设错误 思考题 任何两个无穷小量都可以比较吗 思考题解答 不能 例当时 都是无穷小量 但 不存在且不为无穷大 故当时