无穷小无穷大 极限运算法则.ppt

《无穷小无穷大 极限运算法则.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《无穷小无穷大 极限运算法则.ppt（30页珍藏版）》请在一课资料网上搜索。

1、 第一章 二 无穷大 三 无穷小与无穷大的关系 一 无穷小 第四节 机动目录上页下页返回结束 无穷小与无穷大 当 一 无穷小 定义1 P39 若 时 函数 则称函数 例1 P39 函数 当 时为无穷小 函数 时为无穷小 函数 当 为 时的无穷小 时为无穷小 机动目录上页下页返回结束 说明 说明 P39 2 0是可以作为无穷小的唯一常数 时 函数 或 则称函数 为 定义1 若 或 则 时的无穷小 机动目录上页下页返回结束 1 无穷小不是很小的数 定理1 其中 为 时的无穷小量 定理1 P39 无穷小与函数极限的关系 证 当 时 有 对自变量的其它变化过程类似可证 机动目录上页下页返回结束 无穷大

2、 二 无穷大 定义2 P40 若任给M 0 一切满足不等式 的x 总有 则称函数 当 时为无穷大 使对 若在定义中将 式改为 则记作 正数X 记作 总存在 机动目录上页下页返回结束 注意 注意 P40 1 无穷大不是很大的数 它是描述函数的一种状态 2 函数为无穷大 必定无界 但反之不真 例 P42题6 函数 当 但 不是无穷大 机动目录上页下页返回结束 例2 例2 P40 证明 证 任给正数M 要使 即 只要取 则对满足 的一切x 有 所以 若 则直线 为曲线 的铅直渐近线 渐近线 说明 P41 机动目录上页下页返回结束 无穷小无穷大关系 三 无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大 为无穷小 若

3、 为无穷小 且 则 为无穷大 则 据此定理 关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论 定理2 P41 在自变量的同一变化过程中 说明 机动目录上页下页返回结束 定理2证明 证设 取 当 时 有 即 所以 为当 时的无穷小 反之 设 且 取 当 时 有 由 得 所以 为当 时的无穷大 内容小结 内容小结 1 无穷小与无穷大的定义 2 无穷小与函数极限的关系 3 无穷小与无穷大的关系 思考与练习 P42题1 3 P42题3提示 第五节目录上页下页返回结束 第一章 二 极限的四则运算法则 三 复合函数的极限运算法则 一 无穷小运算法则 第五节 机动目录上页下页返回结束 极限运算法则 时 有 一 无穷小

4、运算法则 定理1 P43 有限个无穷小的和还是无穷小 证 考虑两个无穷小的和 设 当 时 有 当 时 有 取 则当 因此 这说明当 时 为无穷小量 机动目录上页下页返回结束 说明 说明 无限个无穷小之和不一定是无穷小 例如 P56 题4 2 机动目录上页下页返回结束 类似可证 有限个无穷小之和仍为无穷小 定理2 定理2 P43 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证 设 又设 即 当 时 有 取 则当 时 就有 故 即 是 时的无穷小 推论1 P44 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2 P44 有限个无穷小的乘积是无穷小 机动目录上页下页返回结束 例1 例1 P48例8 求 解 利用定理2 P43

5、 可知 机动目录上页下页返回结束 极限四则运算法则 二 极限的四则运算法则 则有 定理3 P44 若 机动目录上页下页返回结束 说明 P45 定理3可推广到有限个函数相加 减 乘的情形 推论 推论1 P45 C为常数 推论2 P45 n为正整数 例2 P46 设n次多项式 试证 证 机动目录上页下页返回结束 定理4 定理4 P45 若 则有 提示 因为数列是一种特殊的函数 故此定理可由 定理3 P44 直接得出结论 机动目录上页下页返回结束 例3 x 3时分母为0 例3 P46 设有分式函数 其中 都是 多项式 试证 证 说明 P47 若 不能直接用商的运算法则 例如 若 机动目录上页下页返回

6、结束 例4 例4 P47 求 解 x 1时 分母 0 分子 0 但因 机动目录上页下页返回结束 由P41定理2有 例5 例5 求 解 时 分子 分子分母同除以 则 分母 抓大头 原式 机动目录上页下页返回结束 有理分式极限一般结果 一般有如下结果 P48 为非负常数 如P47例5 如P47例6 如P47例7 机动目录上页下页返回结束 复合函数极限运算 定理6 P48 设 且x满足 时 又 则有 说明 P49 若定理中 则类似可得 机动目录上页下页返回结束 例7 三 复合函数的极限运算法则 例7 求 解 令 已知 见P47例3 原式 见P34例5 机动目录上页下页返回结束 例8 例8 求 解 方

7、法1 则 令 原式 方法2 机动目录上页下页返回结束 内容小结 内容小结 1 极限运算法则 1 无穷小运算法则 2 极限四则运算法则 3 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2 求函数极限的方法 1 分式函数极限求法 时 用代入法 分母不为0 时 对 型 约去公因子 时 分子分母同除最高次幂 抓大头 2 复合函数极限求法 设中间变量 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 思考及练习 1 是否存在 为什么 答 不存在 否则由 利用极限四则运算法则可知 存在 与已知条件 矛盾 解 原式 2 问 机动目录上页下页返回结束 3题 3 求 解法1 原式 解法2 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 4题 4 试确定常数a使 解 令 则 故 机动目录上页下页返回结束 因此 作业 备用题设 解 利用前一极限式可令 再利用后一极限式 得 可见 是多项式 且 求 故 机动目录上页下页返回结束